2016 Fiscal Year Research-status Report
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15K04916
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| Research Institution | Chiba University |
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Principal Investigator |
種村 秀紀 千葉大学, 大学院理学研究科, 教授 (40217162)
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| Project Period (FY) |
2015-04-01 – 2019-03-31
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| Keywords | ディリクレ形式 / ブラウン運動 / 無限粒子系 / 相互作用系 / 確率微分方程式 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
相互作用をもつ無限粒子系の構成では、粒子配置空間上で定義された滑らかな局所関数を含む関数空間を定義域とするディリクレ形式を用いる方法がより一般的である。例えば、対数ポテンシャル長距離相互作用系に対してもこの手法は有効である。しかし、そのディリクレ形式が一意的に定まるかどうかは自明ではない。有界な領域での相互作用を持つブラウン粒子系では、境界で粒子が反射するという反射壁境界条件である場合と、境界に衝突すると粒子が消滅するという吸収壁境界条件では、ディリクレ形式は異なり、その定義域も違う。従って、異なる境界条件での相互作用を持つブラウン運動系から領域を無限領域にした極限として得られる無限粒子系は、異なるディリクレ形式に対応することがあり得る。当該年度の研究では、粒子の配置空間上で定義された滑らかな関数を含む定義域をもつディリクレ形式の一意性について研究し、一意であるための十分条件を与えた。
これまでの研究では、ブラウン運動系、拡散過程系のように各粒子が連続的に移動する系について研究を主に行ってきたが、当該研究年度では、レヴィー過程系の代表されるような、各粒子が飛躍して移動する飛躍型粒子系の場合の研究も行い、ある程度の進展を得た。具体的には、ディリクレ形式により構成されたラベル付けがされていない無限粒子系からレベル付けされた系を構成し、その確率微分方程式による表現（SDE表現）を与えた。さらに、その確率微分方程式の解の一意性についての結果も得た。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
本研究課題での一つの目的である、飛躍型粒子系の研究が進展しており、これからの発展も期待できる。また、ディリクレ形式の一意性についての結果は、本研究課題での一つの目的である関数型極限定理への重要なステップの一つである。以上のことから、現在までの進捗状況は、おおむね順調に進展していると判断できる。
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| Strategy for Future Research Activity |
飛躍型粒子系については、系の中の1粒子に着目して、その振る舞いを調べる問題（tagged particle problem)に着手する準備ができたことになる。関連研究と比較しながら、ほかの設定の場合との相違点を細かく調べていく。
ディリクレ形式の一意性が成り立たない場合の例については、現在のところ得られていない。近年得られている有限系の場合の結果を参考にしながら、一意性が成り立たない場合の条件等の研究を行う。
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| Causes of Carryover |
28年度内に購入が予定されていた本（洋書）が年度内に入手ができなかったため。
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| Expenditure Plan for Carryover Budget |
購入予定であった本を29年度に購入する。翌年度分に請求した助成金は、29年度の予定どおり使用する。
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