2017 Fiscal Year Research-status Report
| Project/Area Number |
15K04918
|
|---|
| Research Institution | Tsukuba University of Technology |
|---|
Principal Investigator |
田中 仁 筑波技術大学, 障害者高等教育研究支援センター, 講師 (70422392)
|
|---|
| Project Period (FY) |
2015-04-01 – 2019-03-31
|
| Keywords | 荷重の理論 / 埋蔵定理 / 多重線形作用素 |
|---|
| Outline of Annual Research Achievements |
実解析的手法による調和解析の分野において，多重線形作用素の研究は現在世界的な一つの潮流となっています．1999年，Nazarov, Treil, Volbergは，「双線形埋蔵定理」(bilinear embedding theorem)とよばれる単純な形を持つ荷重付双線形ノルム不等式の成立を特徴づける定理を与えました．彼らは制御理論にその源流を持つBellman関数の手法を用い，１次元かつHilbert空間の場合を取り扱いました．2009年，Lacey, Sawyer, Uriarte-Tueroは，この結果をd次元かつ上双対領域とよばれる部分へ拡張しました．彼らは2進立方体を用いたcorona分解の手法によっています．2012年，Hytoneは，この上双対領域の結果に対する初等的な別証明をparallel corona分解という新たな手法により与えました．2014年，私はParallel corona分解とWolffポテンシャルを用いることで，さらに下双対領域にこれらの結果を拡張し，完全なものとしました．
多重線形化の流れを受け，2015年，私は「３重線形埋蔵定理」(trilinear embedding theorem)の研究に着手し，2016年，Wolffポテンシャルを反復して用いることでさらに一般のn重線形埋蔵定理を示すことができました．
平成29年度，強力な道具である2進立方体の枠組みを超えて2進直方体の新たな枠組みの下で，開上双対領域において，n重線形埋蔵定理を示すことに成功しました．
これは2進直方体の族に対するCarleson型埋蔵定理から従うものであり，この埋蔵定理は薮田幸三教授によって証明されました．
この定理を応用することで，特異性のより強い積型分数べき作用素に対する荷重の理論が展開でき，これは手法としても全く新しいものです．
|
| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
平成28年度，Kakeya最大作用素とHardy-Littlewoodの最大作用素との合成による新たな形のfefferman-Stein型荷重付ノルム不等式の研究を進めました．この研究の一つの系として，強最大作用素に対するFefferman-Steinの荷重付ノルム不等式が成立します．
この関連から，強最大作用素に対するFefferman-Stein型荷重付ノルム不等式についての研究に着手しました．
平成29年度，強最大作用素について既存の手法を整理し検討してゆく中で，2進直方体の族に対するCarleson型埋蔵定理についての知見を得ました．
この定理を応用することで，強力な道具である2進立方体の枠組みを超えて2進直方体の新たな枠組みの下で，開上双対領域において，n重線形埋蔵定理を示すことに成功しました．
|
| Strategy for Future Research Activity |
これまでの研究を引き続き継続して行く一方で，Fefferman-Stein型荷重付ノルム不等式を視点において，既知の結果を改めて見直してみるという作業を進めたいと思います．それはこの視点に立つことで加重の理論の新たな一つの理解につながるものであると考えます．また，積型空間における荷重の理論の構築に向けて努力したいと思います．
|
| Causes of Carryover |
予定していた海外での研究発表が実現せず，旅費が支出されずに残額が生じました．平成30年度は十分に考慮して準備し適切に使用いたします．
|
