2018 Fiscal Year Research-status Report
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15K04918
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| Research Institution | Tsukuba University of Technology |
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Principal Investigator |
田中 仁 筑波技術大学, 障害者高等教育研究支援センター, 講師 (70422392)
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| Project Period (FY) |
2015-04-01 – 2020-03-31
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| Keywords | 最大作用素 / Fefferman-Stein型荷重不等式 / 分数ベキ積分作用素 / 正作用素 / n重線形埋蔵定理 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
実解析的手法による調和解析の分野において，多重線形作用素の研究は現在世界的な一つの潮流となっています．
１９９９年，Nazarov, Treil, Volbergは，「双線形埋蔵定理」(bilinear embedding theorem)とよばれる単純な形を持つ荷重付双線形ノルム不等式の成立を特徴づける定理を与えました．彼らは制御理論にその源流を持つBellman関数の手法を用い，１次元かつHilbert空間の場合を取り扱いました．２００９年，Lacey, Sawyer, Uriarte-Tueroは，この結果をd次元かつ上双対領域とよばれる部分へ拡張しました．彼らは2進立方体を用いたcorona分解の手法によっています．２０１２年，Hytoneは，この上双対領域の結果に対する初等的な別証明をparallel corona分解という新たな手法により与えました．２０１４年，私はParallel corona分解とWolffポテンシャルを用いることで，さらに下双対領域にこれらの結果を拡張し，完全なものとしました．
多重線形化の流れを受け，２０１５年，私は「３重線形埋蔵定理」(trilinear embedding theorem)の研究に着手し、２０１６年，Wolffポテンシャルを反復して用いることでさらに一般のn重線形埋蔵定理を示すことができました．
2017年，強力な道具である2進立方体の枠組みを超えて2進直方体の新たな枠組みの下で，開上双対領域において，n重線形埋蔵定理を示すことに成功しました．
今年度，2進直方体に対するn重線形埋蔵定理のOrliczノルムを用いた精密化と，n重線形埋蔵定理の条件付き期待値によるfiltrationを設定し他確率論の枠組みへの進展を進めました．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
1: Research has progressed more than it was originally planned.
Reason
前年度（２９年度），強最大作用素について既存の手法を整理し検討してゆく中で，2進直方体の族に対するCarleson型埋蔵定理についての知見を得ました．この定理を応用することで，強力な道具である2進立方体の枠組みを超えて2新直方体の新たな枠組みの下で，開上双対領域において，n重線形埋蔵定理を示すことに成功しました．
今年度，2進直方体に対するn重線形埋蔵定理のOrliczノルムを用いた精密化と，n重線形埋蔵定理の条件付き期待値によるfiltrationを設定し他確率論の枠組みへの進展を進めました．さらに，種々の作用素について，Hausdorff contentという量により定義されたL^p空間において，Lebesgue測度では得られない〈量的により精密な荷重の理論〉の展開を図りました．
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| Strategy for Future Research Activity |
これまでの研究を引き続き継続して行く一方で，Fefferman-Stein型荷重付ノルム不等式を視点において，既知の結果を改めて見直してみるという作業を進めたいと思います．それはこの視点に立つことで加重の理論の新たな一つの理解につながるものであると考えます．また，分数べき積分作用素について，そのborderlineにおけるFefferman-Stein型の不等式のOrliczノルムを用いた精密化を企図しています．
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| Causes of Carryover |
本研究は４年間にわたり，いくつかの作用素について荷重付ノルム不等式が成立するために荷重が満たすべき条件を明らかにすることをその目的とした．近年見出されたいくつかの新たな計算手法に注目し，それに基づきいくつかの作用素に対する荷重付ノルム不等式の開発・改善を進めた．
２年目以後所属機関の変更に伴い，新たな個人研究費の使用が可能となった．また，予定していた海外（特にヨーロッパ）での研究会出席・発表を，機会を見いだせず未だ行なえずにいる．これらにより，当初の予定と異なる研究費の使用となり，残額を招じてしまった．
いくつかの結果を得て，すでに出版の形で発表しており，研究は適切に進められた．さらなる発展が可能であり，この残額を用いさらなる研究推進のために期間の延長をお願いしたい．
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Research Products
(10 results)
