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2015 Fiscal Year Research-status Report

ラフパス理論とその確率偏微分方程式への応用

Research Project

Project/Area Number 15K04922
Research InstitutionKyushu University

Principal Investigator

稲浜 譲  九州大学, 数理(科)学研究科(研究院), 教授 (80431998)

Project Period (FY) 2015-04-01 – 2020-03-31
Keywordsラフパス理論 / 確率微分方程式 / マリアバン解析 / 漸近展開 / 確率偏微分方程式
Outline of Annual Research Achievements

本年度はラフパス理論の研究を主に行った。主にマリアバン解析とラフパスとの融合をすすめた。
その結果ラフパス理論を用いて、マリアバン解析が得意にしていた熱核の短時間漸近展開を深める結果を証明できた。もっと具体的に述べよう。従来のマリアバン解析におけるとても重要の結果の一つに、高信と渡辺による準楕円条件(ヘルマンダー条件)の下での熱核の非対角短時間漸近展開を示すというものがある。これは考える二点間を結ぶエネルギー最短線が一つではなく、無限個存在してコンパクト多様体をなす、という非常に複雑な場合を扱ったもので、概念的にも計算技術的にも、(ラフパス理論誕生以前の)確率論における最高峰であるといっても過言ではないと思う。筆者は九州大学の谷口説男氏と昨年度に書いた共著において、この高信と渡辺による結果をラフパス理論を使った別証明を与えた上で、さらに拡張し、基礎の空間がユークリッド空間の場合だけでなく、多様体のような「曲がった」空間の場合にもこの種の結果が成立することを示した。この結果はおそらく微分幾何学の観点からも新しいものであると思っている。またラフパスそのものとは別に、ラフパス理論の変種である正則性構造の理論や被制御超関数の理論の勉強をすすめた。これらはラフパス理論の考え方を、かなり特異性が強いために通常の手法では解けない確率偏微分方程式に適用するものであり、研究対象になっている具体例が物理的にも重要であるとされていることから、現在注目を集めている。筆者はこの勉強をもとに、新年度にはこのトピックで論文を一つ書けるように共同研究者とともに目下努力中である。

Current Status of Research Progress
Current Status of Research Progress

2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.

Reason

順調に研究が進んでおり特に問題はないと思う。今のところ予想外のトラブルも起きていない。実は昨年度分の研究は難しい話題だったために、始める前は自信がなかったのだが、運があったのか無事に証明できたために、現時点では幸せな気分で研究ができている。

Strategy for Future Research Activity

研究題目の中に掲げた二つのキーワードのうち、ラフパス理論に関しては、まとまりのある結果をなんとか証明できたために、とりあえずの義務は果たせたという気がしている。よって今後はもう一つのキーワードである特異性の強い確率偏微分方程式の研究をすすめて、なんとか論文一本を書くのが当面の目標である。筆者はこのトピックについては新参者である上に、非常に難しいとされるトピックなために、論文を一本書けるかどうかすらそれほどは簡単ではない。なんとかいままでの勉強を生かして、成果を出したいものである。

Causes of Carryover

5千円以下なので、とくにはっきりした理由があるわけではなく、自然に残ってしまった。

Expenditure Plan for Carryover Budget

次年度の物品費の足しにするつもりである。

  • Research Products

    (13 results)

All 2016 2015 Other

All Journal Article (5 results) (of which Peer Reviewed: 5 results) Presentation (6 results) (of which Int'l Joint Research: 6 results,  Invited: 6 results) Remarks (1 results) Funded Workshop (1 results)

  • [Journal Article] Short time kernel asymptotics for Young SDE by means of Watanabe distribution theory2016

    • Author(s)
      Yuzuru Inahama
    • Journal Title

      J. Math. Soc. Japan

      Volume: 68 Pages: 1--43

    • DOI

      10.2969/jmsj/

    • Peer Reviewed
  • [Journal Article] Large deviations for rough path lifts of Watanabe's pullbacks of delta functions2016

    • Author(s)
      Yuzuru Inahama
    • Journal Title

      To appear in Int. Math. Res. Not.

      Volume: 印刷中 Pages: 印刷中

    • Peer Reviewed
  • [Journal Article] Large deviation principle of Freidlin-Wentzell type for pinned diffusion processes2015

    • Author(s)
      Yuzuru Inahama
    • Journal Title

      Trans. Amer. Math. Soc.

      Volume: 367 Pages: 8107-8137

    • DOI

      10.1090/S0002-9947-2015-06290-4

    • Peer Reviewed
  • [Journal Article] Large deviation principle for certain spatially lifted Gaussian rough path2015

    • Author(s)
      Yuzuru Inahama
    • Journal Title

      Tohoku J. Math.

      Volume: 67 Pages: 433-463

    • Peer Reviewed
  • [Journal Article] ラフパス理論と確率解析2015

    • Author(s)
      稲浜 譲
    • Journal Title

      数学

      Volume: 67 Pages: 291--314

    • Peer Reviewed
  • [Presentation] Large deviations for rough path lifts of Donsker-Watanabe's delta functions2015

    • Author(s)
      Yuzuru Inahama
    • Organizer
      確率解析とその周辺
    • Place of Presentation
      大阪大学
    • Year and Date
      2015-10-22
    • Int'l Joint Research / Invited
  • [Presentation] Large deviations for rough path lifts of Donsker-Watanabe's delta functions2015

    • Author(s)
      Yuzuru Inahama
    • Organizer
      Stochastic analysis and applications (German-Japanese bilateral research project 2015)
    • Place of Presentation
      Tohoku University
    • Year and Date
      2015-09-04
    • Int'l Joint Research / Invited
  • [Presentation] A gentle introduction to rough path theory2015

    • Author(s)
      Yuzuru Inahama
    • Organizer
      Summer school on Dirichlet forms and stochastic analysis
    • Place of Presentation
      Kaisai University
    • Year and Date
      2015-08-25 – 2015-08-27
    • Int'l Joint Research / Invited
  • [Presentation] A brief introduction to rough path theory2015

    • Author(s)
      Yuzuru Inahama
    • Organizer
      Workshop on interaction between commutative and noncommutative probability
    • Place of Presentation
      Kyoto Univerisity
    • Year and Date
      2015-08-05
    • Int'l Joint Research / Invited
  • [Presentation] Large deviations for rough path lifts of Watanabe's pullbacks of delta functions2015

    • Author(s)
      Yuzuru Inahama
    • Organizer
      New Trends in Stochastic Analysis
    • Place of Presentation
      International Institute for Advanced Study, Kizugawa City
    • Year and Date
      2015-07-06
    • Int'l Joint Research / Invited
  • [Presentation] Malliavin differentiability of solutions of rough differential equations2015

    • Author(s)
      Yuzuru Inahama
    • Organizer
      The 4th International Conference on Random Dynamical Systems and The 1st International Conference on Stochastic Dynamics
    • Place of Presentation
      Xi'an, China
    • Year and Date
      2015-06-29
    • Int'l Joint Research / Invited
  • [Remarks] Yuzuru INAHAMA's webpage

    • URL

      http://www2.math.kyushu-u.ac.jp/~inahama/

  • [Funded Workshop] 確率解析とその周辺2015

    • Place of Presentation
      大阪大学
    • Year and Date
      2015-10-20 – 2015-10-22

URL: 

Published: 2017-01-06  

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