2016 Fiscal Year Research-status Report
タイヒミュラー・モジュラー群の有理変換群としての表現の可能性の研究
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15K04927
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| Research Institution | Shimane University |
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Principal Investigator |
中西 敏浩 島根大学, 総合理工学研究科, 教授 (00172354)
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| Project Period (FY) |
2015-04-01 – 2018-03-31
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| Keywords | タイヒミュラー空間 / 写像類群 / 離散群論 / 双曲幾何学 / リーマン面 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
コンパクト双曲曲面のタイヒミュラー空間の大域座標系とその応用について研究を行った。タイヒミュラー空間は曲面上の有限個の閉測地線の長さの組による座標系を許容する。例えば種数 g >1 の有向閉曲面のタイヒミュラー空間の各点は6g-5個の測地線の長さの組みで決定される。タイヒミュラー空間に大域座標系が与えられれば、その上に作用する写像類群を座標系で表現することができる。前年度までの研究で、タイヒミュラー空間の大域座標系を、それを用いた写像類群の作用が有理変換群であるように与えることに成功した。平成２８年度においては、この写像類群の有理変換表現の応用として、写像類群の有限部分群の研究を行なった。種数２の写像類群は５つのデーン・ツイストで生成される（ハンフリー生成元。）種数２の有向閉曲面の写像類群の有限部分群について，我々は写像類群の共役を除くすべての有限部分群の群表示をハンフリー生成元を用いて与えることができた。写像類群の有限部分群は、Nielsen-Kerkhoffの定理により，あるリーマン面の正則自己同型群として実現されることが知られており、膨大な計算を要したものの，具体的に表現できる写像類の固定点を見つけるという手法を有効に用いることができた。この我々の結果は複素解析とトポロジー(位相幾何学）の橋渡しとなるものであり、様々な方面（例えばレフシェッツ・ファイブレーションの理論）への応用が期待できる。また写像類群やリーマン面そのものの理解の深化を促す結果であり，トポロジーの問題へのタイヒミュラー空間論の応用例としても大変興味深い。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
前年度までに完成することができたタイヒミュラー空間の大域座標系について研究を応用して、種数２の有向閉曲面の写像類群の共役を除くすべての有限部分群の群表示をハンフリー生成元を用いて与えるという重要な結果を得た。この結果は位相幾何学の問題にタイヒミュラー空間論が有力なツールになりうることの一つの例示であると自負している。その完成にはコンピュータによる数式処理を援用した膨大な計算と時間を要したので、タイヒミュラー空間の大域座標系について予定していた他の応用（ファイバー構造を持つ双曲多様体の分類や写像類群の複素力学的研究）にまで手が回らなかった。
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| Strategy for Future Research Activity |
種数３の有向閉曲面の写像類群の共役を除くすべての有限部分群の群表示をハンフリー生成元を用いて与える研究を行なう。種数２の写像類群の有限部分群の研究において開発した数式処理ソフトMahematicaの関数が使える反面、対象となる群の種類が格段と増えることから、相当の研究時間を要すると予想している。同時に種数２の写像類群に含まれる三角群の分類し、双曲平面からタイヒミュラー空間への群の作用と共変な等長埋め込みがあるかどうかを調べる。また、この研究から具体的に求められる擬アノソフ変換の複素力学的性質を研究し、その固定点に付随する円上のファイバー構造を持つ双曲３次元多様体を具体的に構成する。その他、向き付け不可能曲面の写像類群の有理変換群としての表現や種数２の数論的フックス群の分類の研究にも着手する。
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| Causes of Carryover |
平成28年度においては海外で開催される国際研究集会に一度も参加できず，国外旅費を使わなかった。その分を次年度に開催される２つの国際研究集会の一つに参加するための海外旅費に充当することにしたため。
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| Expenditure Plan for Carryover Budget |
平成29年度に開催される国際研究集会(23th Nevanlinna Colloquium, 6月，スイス・チューリヒ） Computation in Geometric Topology, 12月，英国・ウォーリック）への参加旅費として使用する。
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