2021 Fiscal Year Research-status Report

実解析に基づくウェーブレットおよび変動指数をもつ関数空間の研究

Research Project

Project/Area Number	15K04928
Research Institution	Tokyo City University
Principal Investigator	出耒光夫東京都市大学, 共通教育部, 准教授 (80507179)
Project Period (FY)	2015-04-01 – 2023-03-31
Keywords	変動指数 / ウェーブレット / Muckenhouptの荷重
Outline of Annual Research Achievements	変動指数によって一般化されたMuckenhouptの荷重理論、さらにそれを局所化した局所変動指数Muckenhouptの荷重理論、およびこのような荷重をもつ重み付き変動指数関数空間の研究に取り組みました。そして、澤野嘉宏氏、野井貴弘氏、野ヶ山徹氏との共同研究により、Lebesgue空間およびSobolev空間における成果を得ました。Rychkovによって導入された局所荷重の考えを変動指数に取り入れた変動指数型の局所Muckenhoupt荷重のクラスを定め、定数指数の場合から一般化される性質、局所化されても受け継がれる性質、一般化できない、あるいは遺伝しない局所変動指数特有の性質などを考察しました。それを応用し、重み付き変動指数のLebesuge空間における種々の積分作用素の有界性の証明に取り組みました。また、Sobolev空間においては、導関数のLebesugeノルムの和、Littlewood-Paley型の表現、Fourier変換による表現など、従来のSobolev空間の場合の一般化となる複数の同値なノルム表現を導くことができました。こうした諸結果に基づいて、十分な減少度と滑らかさをスケーリング関数と付随するウェーブレットによってLebesuge空間の別ノルムを与えること、すなわちウェーブレットによる特徴付けを与えることができました。さらに、より滑らかなウェーブレットによるソボレフ空間の特徴付けも導くことができました。
Current Status of Research Progress	Current Status of Research Progress 2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned. Reason これまでにまだ取り組んだことのなかった局所変動指数Muckenhouptの荷重という新しいウェイトをもつ関数空間の研究に取り組み、一定の成果を出すことができました。一般の変動指数Muckenhouptの荷重理論には未知の部分もあり、また局所変動指数Muckenhouptの荷重理論には定数指数の場合と同様には成立しない主張もあります。そういった制約がある中においても、ウェーブレットによる関数空間の特徴付けという成果が得られたことに意義があります。
Strategy for Future Research Activity	局所化されていない一般の変動指数型Muckenhouptの荷重理論も、まだ比較的新しい理論であり、従来のMuckenhouptの荷重理論と比較してもまだ明らかとなっていないことが多いです。例えば指数に関するクラスの単調性や因数分解定理による荷重の具体例の構成など、もし従来の定数指数の場合と同様の結果が変動指数の場合にも一般化できることが示せれば変動指数型Muckenhouptの荷重理論の研究の幅を広げることができます。そして、その成果は局所化された荷重のクラスの研究へと直結します。この荷重をもつ重み付き関数空間の対象が増え、また各関数空間においてより多くの解析が可能となります。そのため、まず１つの計画として、変動指数型Muckenhouptの荷重の諸性質の解明に取り組みます。一方で、局所化された変動指数型Muckenhouptをもつ重み付き関数空間として、これまでに取り組んだLebesgue空間およびSobolev空間の研究を足掛かりとし、Hardy空間、Tribel-Lizorkin空間といったより構造が複雑な空間の解析に取り組みます。
Causes of Carryover	新型コロナの影響で、毎年対面での開催されていた研究集会が中止・延期となりました。研究成果の発表のための出張旅費を次年度使用したいと考えております。