2016 Fiscal Year Research-status Report
多変数複素関数論から見たリーマン面の接続とスパンの研究
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15K04930
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| Research Institution | Hiroshima University |
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Principal Investigator |
柴 雅和 広島大学, 工学研究院, 名誉教授 (70025469)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
濱野 佐知子 大阪市立大学, 大学院理学研究科, 准教授 (10469588)
山口 博史 滋賀大学, 教育学部, 名誉教授 (20025406)
増本 誠 山口大学, 創成科学研究科, 教授 (50173761)
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| Project Period (FY) |
2015-04-01 – 2018-03-31
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| Keywords | リーマン面 / 擬凸状領域 / 開トーラスの正則族 / Closings / 双曲的スパン / 変分公式 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
この研究課題においてまず第一段階として目論んだことは，種数１の開リーマン面（以下では「開トーラス」と略称）の双曲的スパンの多変数複素関数論的な意義をさぐることであった．その成果の具体的な例としては次のものを挙げることができる．有限な開トーラス（コンパクトな縁付きリーマン面の内部）の族が，ある開円板Dにパラメーターをもって複素2次元の擬凸状領域を成しているならば，双曲的スパンはD上で劣調和的な関数であり，とくに調和的となるのは族が本質的に直積空間である場合かつその場合に限ることが示された．この結果は既に出版された．種数が高い場合については現在研究進行中である．
他方で，この課題を進めるにあたって不可欠と思われるいくつかの新しい知見が得られた．その1つは，種数が高い場合の開リーマン面のclosings（同じ種数の閉リーマン面への接続）の1つ1つにはSiegel上半空間の点 --- すなわち虚部が正定値である正方行列 --- が対応するが，流体力学的微分によって得られるxlosingsが円周を形成しあらゆるclosingsはこの円周で囲まれた円板に含まれることは以前から知っていたが，今回あらたに次のことが分かった．Closingsの全体によって各対角要素はそれぞれの閉円板を埋めつくす．また，その証明方法から，非対角要素についても，既知であった有界性に加えて，常にある閉円板を含むことが分かった．これらの知見は，closingsの全体を把握する上で非常に意義深いだけではなく，開トーラスの双曲的スパンの高次元への拡張 --- さらには拡張された双曲的スパンの多変数複素関数論的立場からの研究 --- に際して少なからず有益と期待されるものである．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
上の欄において述べた通り，第一段階として設定された目標は完全に解決され，論文の形での出版にもこぎつけた．この成果の拡張を試みることは平成29年度に引き継がれるが，具体的な方法については次の欄に述べる．
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| Strategy for Future Research Activity |
種数が１である場合から２以上の場合への拡張は，AbelやJacobiの楕円関数論の時代から一般の閉リーマン面の時代への歴史的発展の跡をみればわかるように，決して容易ではない．この研究課題をとりまく状況から，１つの開リーマン面のclosingsをSiegel上半空間の中で考察することは極めて自然であるから，これについて研究を続ける．このような単独の開リーマン面についての考察を深めることは，開リーマン面の擬凸状族の研究にとって不可欠である．前者については代表者が，後者については山口および濱野がこれにあたる．また，closingsのような開リーマン面の正則な埋め込みとならんで擬等角的な埋め込みなどについても代表者と増本は考察する．
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| Causes of Carryover |
予算額が次年度に繰り越されることになったのは，当初の研究計画の遂行が遅れているわけではない（むしろ研究内容としてはかなり充実した結果がすでに得られているといってよい）１つの区切りの次の段階として，2016年度は次の段階への準備期間のような性格をびることとなった．そのため，各分担者がその分担研究を独自に行い，メイルなどにより各自の研究メモを交換を通じて意見を交わすことが主となり，旅費の支出が抑えららえた．その効果は次の欄に述べる．
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| Expenditure Plan for Carryover Budget |
2017年度は，2016年度のやや個別的成果を受けてその次の段階に進む．すなわち，各分担者の成果を一か所に持ち寄って対面しての議論を行い，論文原稿を作成し成果を公表する段階へと進む．これには2016年度に節約できた旅費を有効に使わせていただく予定である．
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