2015 Fiscal Year Research-status Report
ニュートン多面体を用いた特異点解消とその解析学への応用
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15K04932
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| Research Institution | Kyushu University |
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Principal Investigator |
神本 丈 九州大学, 数理(科)学研究科(研究院), 准教授 (90301374)
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| Project Period (FY) |
2015-04-01 – 2020-03-31
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| Keywords | ニュートン多面体 / 特異点解消 / 振動積分 / 局所ゼータ関数 / 有限型領域 / ピーク関数 / ベルグマン核 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本年度は、特異点論で重要な概念であるニュートン多面体の幾何学的な性質から、適当な特異点解消を行うことにより、調和解析学において重要な振動積分の漸近挙動や局所ゼータ関数の有理型関数としての性質を詳しく調べた。さらに、複素解析学において重要な有限型擬凸領域の境界の性質についても詳細に調べた。具体的な、成果としては、滑らかな関数の零点集合の代数幾何学的な性質をニュートン多面体の位相幾何学的な性質から定量化し、それらを用いて、その関数に関するある種の不変量を構成することにより、局所ゼータ関数の有理型関数としての解析接続の限界がその不変量を用いて表されることを示した。このことは、局所ゼータ関数の極の位置に関するヴァルチェンコの結果と並べてみると非常に面白い現象を表しており、今後さらに詳細な研究が期待される。さらに、有理型という性質が本質的に壊れる様子を、詳細に研究し、具体的な特異性の形を明らかにしつつある段階まできている。これらは、openness 予想と非常に深く関連しており、新しい成果にもなっていることを特記しておく。さらに、多変数複素解析学における成果として、D'Angeloの定義した不変量である「型」をニュートン多面体の非常に簡単な幾何学的な情報により記述することに成功した。ただ、この成功は、現在までのところ領域のクラスを制限するものである。しかし、その新しいクラスは、それ自体が非常に興味深い性質をもっており、これらの領域について、ピーク関数やベルグマン核などの重要な関数の解析について研究をはじめている。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
特に調和解析の研究に関しては、非常によい成果を得ることができ、満足しているが、その分、多変数複素解析学における研究に対して若干時間が足りておらず、全体としてはおおむね順調に進展しているという評価ができる。
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| Strategy for Future Research Activity |
ニュートン多面体の幾何学的な性質から定量的な特異点解消を得るという研究は、現在までのところ2次元の場合が中心であり、高次元の場合は、まだ十分なされていないため、この方向で研究を推進していくつもりでいる。その成果を、高次元の場合の調和解析学や多変数複素解析学の研究に対する応用を試みることも同時に行う。
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| Causes of Carryover |
謝金などの人件費が、研究内容の変更などにより今年度は必要としなくなり、その分の予算が余った形となった。
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| Expenditure Plan for Carryover Budget |
次年度においては、上で述べた研究の内容の変更により謝金や人件費などが必要となるため、これらを加算して、研究費を使用する予定である。
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