2018 Fiscal Year Research-status Report
ニュートン多面体を用いた特異点解消とその解析学への応用
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15K04932
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| Research Institution | Kyushu University |
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Principal Investigator |
神本 丈 九州大学, 数理学研究院, 准教授 (90301374)
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| Project Period (FY) |
2015-04-01 – 2020-03-31
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| Keywords | ニュートン多面体 / 特異点解消 / 振動積分 / 局所ゼータ関数 / 接触位数 / ベルグマン核 / ニュートン非退化 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
今年度も引き続き，特異点論的視点から、実解析学や複素解析学における様々な問題に関して研究を行った。ニュートン多面体を用いた特異点解消の技術的な利点は，定量的な結果をもたらすことであるが、今年度の研究の顕著な成果として、ダンジェロの定義したタイプと呼ばれる複素解析において重要な不変量の研究に、有意義な結果をもたらした。
具体的に述べると、まず複素空間内における実長曲面に関して、ニュートン多面体を定義し、そこから自然に導かれる非退化をいう条件の下では、実際の複素空間とニュートン多面体の空間における綺麗な対応が存在し、容易に多くの情報を得ることができることがわかった。今までに知られていた多くの結果が統一的に理解されたことも特記すべきことである。
局所ゼータ関数に関する研究は、さらに興味深い発展をみることができた。実解析性を仮定した場合にわかっている結果が、単に滑らかという仮定では、一般化されないという結果は、昨年度にすでに得ていたわけであるが、その結果を一般化し、ニュートン多面体が非常に簡単な形状をしている場合には、ほぼ最良の有理型接続に関する結果を得ることができた。この結果は、さらに一般の場合に関するモデルの場合としても考えられるので、今後の研究にも非常に有意義なものであると思われる。
多変数複素解析学に関する様々な問題にも取り組んだ。特に、スクイーズィング関数に関しては、精力的に研究を行ったが、形となる成果はまだ得られていない。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
多変数複素解析学に関するニュートン多面体を用いた解析は、ダンジェロのタイプに関しては、多くの成果をもたらし、さらに今後の研究にも発展されるものであり、十分満足するものであったが、さらに難しいベルグマン核などの研究にも応用されるべきもので、その点で若干不十分である。局所ゼータ関数の有理型接続に関しては、十分興味深い成果を得たが、これらを振動積分に関して対応させることがまだできていない。
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| Strategy for Future Research Activity |
ニュートン多面体を用いた特異点解消の技術は、さらに複素解析学に関しては、深い問題に発展すべきものであり、特にピーク関数、ベルグマン核やセゲー核の特異性に関して今後研究をすすめていきたい。さらに、ディーバーノイマン問題に関しても、深く関係しているので、現在までの成果をそれらに応用させていきたい。
また、局所ゼータ関数の有理型接続に関する問題は、よい一般の場合に発展できるものであると考えており、その際には、解析的な技術よりも代数や幾何的な技術が有用となると考えている。
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| Causes of Carryover |
当初予想していたよりも、若干旅費が少なくてすんだことが、次年度使用額が生じた理由である。来年度に、その分だけ旅費を上澄みしたいと考えている。
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