2016 Fiscal Year Research-status Report
放物型方程式のポテンシャル論的および関数解析的研究
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15K04934
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| Research Institution | Osaka City University |
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Principal Investigator |
西尾 昌治 大阪市立大学, 大学院理学研究科, 准教授 (90228156)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
下村 勝孝 茨城大学, 理学部, 教授 (00201559)
竹内 敦司 大阪市立大学, 大学院理学研究科, 准教授 (30336755)
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| Project Period (FY) |
2015-04-01 – 2019-03-31
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| Keywords | 熱方程式 / 調和関数 / 多重調和関数 / 多重放物型方程式 / ベルグマン空間 / ブロッホ空間 / 再生核ヒルベルト空間 / 分数ベキラプラシアン |
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| Outline of Annual Research Achievements |
当該年度は本研究課題の２年目にあたり、初年度に遂行した知見の整理によって得られた情報をもとに研究を推進させた。研究計画にある研究テーマは次の３つである。１つ目は「熱方程式のマルチン境界の研究およびそのための方程式の解を保つ変換の研究」、２つ目は「多重熱方程式と関連する多重調和関数、作用素の繰り返しに関する研究」そして３つ目は「放物型方程式の解のなす関数空間の関数解析的研究」である。
第１の熱方程式のマルチン境界に関しては、基礎となる熱方程式について、その方程式を不変にする変換に関する研究を分担者の下村勝孝が中心になって遂行した。当該年度には、不定値計量に関するラプラシアン、いわゆる超双曲型と呼ばれる微分方程式について考察を進め、等角写像に関するリウヴィユ型の結果が得られた。そしてその成果は論文にまとめ発表された。また、今後の研究方針に関する報告は、９月に静岡で開催された関数論シンポジウムでなされた。
次に第２の多重熱方程式については、初年度から進めているラプラシアンの分数ベキの発展方程式と多重調和関数との関連についての成果が得られ、６月にルーマニアで開催された国際会議で発表するとともに、論文に纏め近く掲載される予定である。今後の進展のためには重み付きの空間の考察や、ヒルベルト空間でない指数のルベーグ空間の部分空間についての考察が必要になってきたところである。
最後に、放物型方程式の解のなす関数空間についてであるが、昨年度の学会発表をもとにした放物型ブロッホ空間に関する研究を論文に纏めた。その論文は、日本数学会誌に掲載されることが確定している。また、それに関連して調和双対の概念の重要性が明確になってきており、グリーソン問題として再浮上してきている。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
応募申請書の研究の方法において記載したように、得られた研究成果はできるだけすみやかに学会などで発表することにより、その意義や方向性を確認することが非常に重要である。当該年度は、初年度に得られた結果を含め計１０件の口頭発表を行い、また印刷中を含めて６件の論文発表がなされた。このように、初年度から２年間で、研究計画にそって順調に研究は進展して、成果も上がってきている。
以下で、各テーマに対する進捗状況を述べる。熱方程式のマルチン境界と解を保つ変換の研究では、現在不定値計量に関する熱方程式が研究の中心になってきている。そのための第１歩として等角写像に関する成果が得られ、論文として発表された。また、多重熱方程式の研究では、関連する方程式間の関係が明らかになってきており、ベルグマン空間をキーワードとして多重調和函数の空間と多重放物型ベルグマン空間との結びつきが明らかになってきた。まず基本的な結果として再生核に関する成果が得られ、国際会議で発表するとともに論文に纏めた。これは今後のさらなる進展が期待される結果で順調な研究の進展を表している。
このように、自己評価として、本研究はおおむね順調に進展しているとしていると考えている。
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| Strategy for Future Research Activity |
研究をどの方向に進めるべきかを見定めることは、得られる成果の広がりや意義に直結するために非常に重要である。そこで、セミナーを積極的に企画し、あるいは研究集会で発表するこによって、常に最新の動向に目を光らせる必要がある。
そして、現時点では、各テーマごとの今後の研究方針を次のように考えている。
１．熱方程式のマルチン境界：ポテンシャル論における理想境界としては、その目的に応じてマルチン境界以外にも種々の概念が知られている。その１つにピーターローブが提唱した正則な理想境界がある。これはハーディ空間の核関数と関係があり、また、マルチン境界との深い関係も知られており、この辺りを掘り下げることは非常に興味深いと考えている。
２．多重熱方程式：当該年度はこのテーマと関連して分数ベキの放物型作用素と多重調和関数との関連が明らかになってきた。さらに重み付き空間へと話を発展させていきたいと考えている。
３．放物型ベルグマン空間：当該年度において、ベルグマン空間のある意味の極限とも考えられる放物型ブロッホ空間における調和双対性に関して結果が得られ、論文として発表した。そこから自然にグリーソン問題が再浮上し、まずはそれを中心に研究打ち合わせを計画している。さらにその進展の状況によっては、ブロッホ空間とは逆方向の極限としてあらわれるハーディ空間への応用が期待される。
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| Causes of Carryover |
当該年度末の３月に予定されていた研究打ち合わせが、諸般の都合により延期されることとなった。また、予定していた図書の導入の遅れもあり、あわせて次年度使用額として計上されている。
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| Expenditure Plan for Carryover Budget |
上記で予定していた研究打ち合わせおよび図書購入のために使用する計画である。
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Research Products
(16 results)
