2016 Fiscal Year Research-status Report
超汎関数空間論の新展開と無限次元確率解析及び量子力学系理論への応用
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15K04940
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| Research Institution | Meijo University |
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Principal Investigator |
齊藤 公明 名城大学, 理工学部, 教授 (90195983)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
三町 祐子 名城大学, 理工学部, 准教授 (00218629)
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| Project Period (FY) |
2015-04-01 – 2018-03-31
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| Keywords | 無限次元確率過程 / 無限次元確率解析 / 超汎関数空間 / 無限次元ラプラシアン / 量子確率過程 / ホワイトノイズ理論 / 力学系理論 / 数理ファイナンス |
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| Outline of Annual Research Achievements |
平成28年度の科学研究費助成金を受け、新しい超汎関数空間論の構築と無限次元確率解析への展開、量子情報論への展開を行った。主な成果として以下が挙げられる。１）超関数同士の積について閉じている局所凸空間を構成し、その空間上に作用する汎関数及び超汎関数空間上の無限次元ラプラス作用素について議論した。この超関数空間上では無限次元ブラウン運動の冪やホワイトノイズの冪も繰り込み無しで考えることができ、理論面のみならず応用面においても広範囲に研究が可能になった。今後、この空間上で更なる研究発展が期待される。（本成果は国際専門誌COSAに掲載された）２）１）の延長上で、無限次元ラプラシアンの連続的な表現が得られた。本成果により量子確率論を展開し、論文としてまとめ始めている。３）伊藤積分理論の拡張として新しい確率積分理論の構築をし、更にNear-Martingaleの概念を導入し、Doob-Meyer式の分解定理を導いた。（本成果はCOSAに掲載された）４）３）の延長上で、適合過程と時点独立確率過程による積分に関する確率解析の理論を精密に構築するため、伊藤の公式の一般化を行い、この確率積分による確率微分方程式の解法を与えた。（本成果もCOSAに掲載された）５）ホワイトノイズ理論ではPotthoff-Streitの定理により、ホワイトノイズテスト汎関数空間が核型であることが解析的かつ増大的条件によるS－変換の特徴付けとして十分条件であることはよく知られていたが、核型性が必要条件でもあることの証明に成功した。本件は量子確率過程論の展開に新たな観点を与える。（本成果は国際専門誌IDAQPに掲載予定となった）これらの成果により、新しい視点からの無限次元確率解析及び量子情報解析が展開できる基盤が整ったことは本研究を他分野に応用展開する上で画期的な進展である。最終年度において更に展開を続ける予定である。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
積が自然に定義できる超関数空間と超汎関数空間の構成と無限次元ブラウン運動、ホワイトノイズのべき乗に関する確率解析の展開、新しい視点による確率積分の導入から確率解析の理論構築及び展開、ホワイトノイズ理論におけるS－変換の特徴づけ定理の精密化、無限次元ラプラシアン（特にレヴィラプラシアン、ヴォルテララプラシアンなど）の連続的積分表現、ファイナンスへの応用などの成果が順調にあげられ、今まで以上に他に類のない研究成果が得られている。これらの成果は、無限次元確率解析を発展させ、量子確率論への展開を可能にした。確率過程のシミュレーションやファイナンスへの応用、力学系理論への応用などに更に今後広げていく予定でいる。
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| Strategy for Future Research Activity |
理論研究については継続して成果を上げ、まとめるようにし、論文にて公表する。最終年度に向けて、成果の整理をし、より応用に適した理論構築を行うため、シミュレーションなどの数理実験との整合性も試みる。特に、量子情報、量子力学系、ファイナンスなどへの応用研究の展開を行う。研究分担者との連絡を密にし、次の研究に継続できるように成果を総合的にまとめあげ、公表する。
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