2017 Fiscal Year Research-status Report
マルコフ過程の経路のSemi-Dirichlet形式を用いた汎関数解析
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15K04941
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| Research Institution | Kansai University |
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Principal Investigator |
上村 稔大 関西大学, システム理工学部, 教授 (30285332)
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| Project Period (FY) |
2015-04-01 – 2019-03-31
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| Keywords | semi-Dirichlet 形式 / Mosco 収束 / 正則部分空間 / 保存性 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
semi-Dirichlet 形式に対応するマルコフ過程の大域的性質研究の基本的対象の一つである保存性について検討した．具体的には，熊本大学名誉教授である大島洋一氏とともに，Dirichlet 形式を特徴づけるデータ（拡散係数・飛躍率）の（空間）遠方での増大度の条件によって保存性を示すことが出来た．特に，これまでは対称な場合についての詳細な研究が数多くなされてきたが，対称とは限らない semi-Dirichlet 形式の場合については，これまでほとんど研究がなされていないと思われるので，画期的な結果といえる．また具体例を数多く上げることにより，seme-Dirichlet形式を用いた研究を進めておられる研究者にチェックしやすい状況を供することが可能となったのではないか．これらの結果は，学術雑誌「Potential Analysis」46巻(2017)に発表した．
また，対称拡散過程に対応する局所的な対称Dirichlet 形式の定義域である Dirichlet 空間の正則な部分空間の特徴づけを行うことは Dirichlet 形式理論にとって非常に重要な研究である．今回は，中国の復旦大学教授 Jiangang Ying 氏と中国の応用科学院ポスドク Li Liping 氏とともに，1次元対称拡散過程に対応する Dirichlet 形式の正則部分空間の特徴づけを，Mosco 収束の概念を用いて示すことが出来た．特に，正則部分空間を特徴づける「特性集合」と呼ばれる関数空間の増大性，あるいは減少性の仮定をおくことにより，極限に現れる正則部分空間に収束することがわかり，さらには対応する拡散過程の弱収束まで得ることが出来た．この結果は，学術雑誌「Osaka Journal of Mathematics」54巻(2017)に発表した．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
1: Research has progressed more than it was originally planned.
Reason
大島氏との共同研究により，semi-Dirichlet 形式に対応するマルコフ過程の保存性の成立のための十分条件を得ることが可能となったことで，当初マルコフ過程の存在そのものを保証するための条件を検討するところから行う予定となっていたことに比べて，それを飛び越えての研究となったことは計画以上であるといえる．
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| Strategy for Future Research Activity |
今後は，もう一つ検討予定の飛躍型マルコフ過程の poros media について, homogenization を Mosco 収束の接近法を通じて行っていく予定である．
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| Causes of Carryover |
2017年12月中旬に，1日研究集会を関西大学で開催予定であったが，招へい予定の研究者の都合で中止となり，そのための旅費として計上していた分が次年度への繰り越しとなってしまった． 2018年度には，当初計画の研究会を東北大で開催する予定にしており，そのための追加旅費として使用予定にしている．また，11月には TU Dresden 大学教授 Rene Schilling 氏を訪問して，当該研究と関連する話題について議論をする予定にしている．そのための旅費としても使用予定である．
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