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2016 Fiscal Year Research-status Report

符号不定係数と混合型非線形性を伴う楕円型境界値問題の正値解の分岐構造に関する研究

Research Project

Project/Area Number 15K04945
Research InstitutionIbaraki University

Principal Investigator

梅津 健一郎  茨城大学, 教育学部, 教授 (00295453)

Project Period (FY) 2015-04-01 – 2018-03-31
Keywords非線形楕円型境界値問題 / concave-convex 型非線形性 / 符号不定変係数 / 分岐解 / ループ形状連続体 / 正値性 / 位相解析的手法
Outline of Annual Research Achievements

本年度は concave 型及び concave-convex 混合型の非線形性をもつ楕円型境界値問題に対して正値解集合の構造を研究した.方程式の非線形性と付随する符号不定変係数の相互作用が正値解集合に及ぼす効果について考察した.

まず,concave-convex 型のあるクラスに対して,パラメータと関数空間の直積空間において非有界な連続体から成る正値解集合の存在を示した.concave 型がもつ方程式の特異性を克服するために方程式の正則化を行った.この正則化が最も重要なアプローチである.さらに,正則化問題に対して正値解の先験的評価を確立して,ある位相解析的手法を用いることで考察対象の問題の正値解集合の構造を決定した.次に,concave-convex 型の別のクラスに対して,パラメータと関数空間の直積空間においてループ形状をもつ連続体から成る正値解集合の存在を示した.この研究は,やはりループ形状の正値解集合の存在を示した研究(前年度に実施)の中で open question として残っていたケースに対するものである.非線形項のもつ同次性を上手く使い,あるスケール変換を用いて問題解決の糸口を掴んだ.最後に,concave 型非線形性をもつあるクラスに対して,非自明非負解(以下,非自明解)の正値性を研究した.強最大値の原理と boundary point lemma の適用外であるこのクラスに対して,ある連続性の議論を用いて,線形方程式に近い concave 型に対しては非自明解の正値性が成り立つことを示した.

7月に研究協力者である Humberto Ramos Quoirin が来日した.所属研究機関(茨城大学教育学部)において本研究課題についてセミナーを行った.上で記した第2の研究は本セミナーにおける議論に端を発している.

Current Status of Research Progress
Current Status of Research Progress

2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.

Reason

本年度の研究成果は共同研究者との共同研究による.

概要で述べた第1, 第2の成果を論文にまとめ,国際学術誌に投稿して accept された.これらの成果は Humberto Ramos Quoirin (Universidad de Santiago de Chile) との共同研究による.第3の成果を論文にまとめて現在国際学術誌に投稿中である.この成果は Uriel Kaufmann (Universidad Nacional de Cordoba), Humberto Ramos Quoirin (Universidad de Santiago de Chile) との共同研究による.

第11回AIMS国際会議(7月1日から5日, Orlando, USA)に出席して,特別セッション `New Trends in Nonlinear Partial Differential Equations and Applications (SS36)' において招待講演を行った(7月4日).京都産業大学にて開催された Workshop on reaction diffusion equations and numerical analysis において招待講演を行った(10月8日).ともに講演のテーマはループ形状の連続体からなる正値解集合の存在についてである.2017年日本数学会年会(首都大学東京にて3月24日から27日まで開催)に出席して,函数方程式論分科会において一般講演を行った(3月24日).講演のテーマは concave 型方程式の非自明解の正値性についてである.

Strategy for Future Research Activity

今後の課題として concave-convex 型非線形項の一般化がある.現在までの考察では,非線形性に同次性を仮定している.そこで,同次性を仮定しない,漸近的に concave-convex 性をみたす非線形項に対して類似の結果が成り立つかを考察する.

非線形楕円型境界値問題の正値解集合の構造に関して,有界連続体集合の存在については現在までに mushroom(キノコ形状), loop(ループ形状), isola(島形状) の3種が知られている.concave-convex 型非線形性のもとでは前者2種についてはある条件下で存在を示すことができた.自明解の枝から遊離した島形状の正値解集合が存在するための十分条件の考察が未解決問題として残っている.この問題の解決には方程式にある種の特異性を仮定することが必要であると考える.

Causes of Carryover

概ね計画通りである.

Expenditure Plan for Carryover Budget

概ね計画通りである.

  • Research Products

    (11 results)

All 2017 2016 Other

All Int'l Joint Research (2 results) Journal Article (5 results) (of which Int'l Joint Research: 5 results,  Peer Reviewed: 5 results) Presentation (2 results) (of which Int'l Joint Research: 1 results,  Invited: 1 results) Remarks (2 results)

  • [Int'l Joint Research] Universidad de Santiago de Chile(チリ)

    • Country Name
      CHILE
    • Counterpart Institution
      Universidad de Santiago de Chile
  • [Int'l Joint Research] Universidad Nacional de Cordoba(アルゼンチン)

    • Country Name
      ARGENTINA
    • Counterpart Institution
      Universidad Nacional de Cordoba
  • [Journal Article] An indefinite concave-convex equation under a Neumann boundary condition I2017

    • Author(s)
      Ramos Quoirin Humberto、Umezu Kenichiro
    • Journal Title

      Israel Journal of Mathematics

      Volume: 220 Pages: 103~160

    • DOI

      10.1007/s11856-017-1512-0

    • Peer Reviewed / Int'l Joint Research
  • [Journal Article] An indefinite concave-convex equation under a Neumann boundary condition II2017

    • Author(s)
      Ramos Quoirin Humberto, Umezu Kenichiro
    • Journal Title

      Topological Methods in Nonlinear Analysis

      Volume: 49 Pages: 739~756

    • DOI

      10.12775/TMNA.2017.007

    • Peer Reviewed / Int'l Joint Research
  • [Journal Article] On a concave-convex elliptic problem with a nonlinear boundary condition2016

    • Author(s)
      Humberto Ramos Quoirin and Kenichiro Umezu
    • Journal Title

      Annali di Matematica Pura ed Applicata

      Volume: 195 Pages: 1833-1863

    • DOI

      10.1007/s10231-015-0531-x

    • Peer Reviewed / Int'l Joint Research
  • [Journal Article] Positive steady states of an indefinite equation with a nonlinear boundary condition: existence, multiplicity and asymptotic profiles2016

    • Author(s)
      Humberto Ramos Quoirin and Kenichiro Umezu
    • Journal Title

      Calculus of Variations and Partial Differential Equations

      Volume: 55 Pages: No.102, 47pp.

    • DOI

      10.1007/s00526-016-1033-4

    • Peer Reviewed / Int'l Joint Research
  • [Journal Article] An elliptic equation with an indefinite sublinear boundary condition2016

    • Author(s)
      Humberto Ramos Quoirin and Kenichiro Umezu
    • Journal Title

      Advances in Nonlinear Analysis

      Volume: online publishded Pages: 印刷中

    • DOI

      10.1515/anona-2016-0023

    • Peer Reviewed / Int'l Joint Research
  • [Presentation] Positivity for nontrivial nonnegative solutions of an indefinite sublinear problem2017

    • Author(s)
      梅津健一郎
    • Organizer
      日本数学会2017年年会(函数方程式論分科会)
    • Place of Presentation
      首都大学東京
    • Year and Date
      2017-03-24
  • [Presentation] A loop type component of positive solutions of an indefinite concave-convex problem with the Neumann boundary condition2016

    • Author(s)
      Kenichiro Umezu
    • Organizer
      The 11th AIMS(American Institute of Mathematical Sciences)Conference
    • Place of Presentation
      Hyatt Regency Orlando, Orlando, USA
    • Year and Date
      2016-07-04
    • Int'l Joint Research / Invited
  • [Remarks] 論文

    • URL

      https://info.ibaraki.ac.jp/Profiles/17/0001645/theses1.html

  • [Remarks] 研究発表

    • URL

      https://info.ibaraki.ac.jp/Profiles/17/0001645/meeting_achieve1.html

URL: 

Published: 2018-01-16   Modified: 2022-02-16  

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