2016 Fiscal Year Research-status Report
流体力学の非定常問題への実解析的・数値解析的アプローチ
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15K04946
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| Research Institution | University of Tsukuba |
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Principal Investigator |
久保 隆徹 筑波大学, 数理物質系, 講師 (90424811)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
高安 亮紀 筑波大学, システム情報系, 助教 (60707743)
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| Project Period (FY) |
2015-04-01 – 2019-03-31
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| Keywords | 最大正則性原理 / 圧力安定化法 / 時間局所解 / 定常解 / ２次元半空間 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
二相流体に関する自由境界問題は数学解析的にも工学的にも興味深い問題である．数学解析では最大正則性の理論が整備され，最近多くの結果が出ている．一方，工学的には昔から多く研究され，様々な数値シミュレーションの結果がある．そのシミュレーションの多くは，二相流体に関する運動方程式そのものではなく，その近似方程式を用いてシミュレーションを行っており，運動方程式そのものを正確に表現しているとは言いにくい．そこで，今年度はその近似の正当性を数学的に保証するために研究を進めた．具体的には，二相流体の自由境界問題の基礎方程式であるNavier-Stokes方程式に関して，非圧縮条件を圧力安定化法により近似した近似非圧縮条件をもつNavier-Stokes方程式を考えた．その結果，その線形化方程式のレゾルベント問題に対してR有界な解作用素の存在を証明し，それにより線形化方程式の最大正則性を導くことができた．またその最大正則性を用いて非線形問題の時間局所解を導くことができた．さらに，近似の正当性を考えるために誤差が満たすべき非線形問題を考え，同様の手法で考えられる中で最良の誤差評価をえることができた．
また，半空間の定常問題については，２次元半空間における定常解を再度見直した．２次元においては定常解をフーリエ変換を用いて複雑ではあるが正確に記述することができることが分かり，それを用いて２次元半空間でのNavier-Stokes方程式の定常解の存在を試みたが，無限遠での減衰が悪く証明ができなかった．さらに外力に対称性などを仮定してより減衰を良くしようと試みたがうまくいかなかった．今後は考える関数空間を工夫し，定常解の存在証明を試みたい．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
3: Progress in research has been slightly delayed.
Reason
【研究１】２次元半空間での解表示を正確に行うことに時間がかかったが，無限遠での減衰度が予想していたよりも良くなかったため，想定していた方法では定常解の存在証明をすることができなかった．今後は３次元以上に限定して定常解の存在証明を重み付き評価を用いて証明していく．
【研究２】自由境界問題に関するスペクトルの非存在範囲の証明について，自由境界問題そのものを数値実験することは非常に煩雑で複雑であることが分かり，今後は自由境界問題の近似問題を考えることで対応していく．
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| Strategy for Future Research Activity |
【研究１】定常解の安定性については，３次元以上に限定して考えて行く．また，摂動半空間での局所的な解析を進め，摂動半空間での重み付き評価とそこでの定常解の安定性を考えて行く．
【研究２】自由境界問題に現れるスペクトル問題の近似問題を考えることで，従来の問題よりも考えやすくなる．これを考えることでスペクトルの非存在範囲を計算機援用解析を用いて証明する．
【研究１】【研究２】ともに連携研究者と昨年度よりもさらに密に連絡を取り合い，研究を進めていく．
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| Causes of Carryover |
家庭の事情で，当初予定していた国内出張を中止，または期間を短縮した為．
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| Expenditure Plan for Carryover Budget |
現在使っている計算機の調子が悪くなってきたので，新しい計算機を購入する費用とする．
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