2015 Fiscal Year Research-status Report
非線形ディラック方程式に対するモース・フレアー理論
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15K04947
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| Research Institution | Tokyo Institute of Technology |
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Principal Investigator |
磯部 健志 東京工業大学, 大学院理工学研究科(理学系), 准教授 (10262255)
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| Project Period (FY) |
2015-04-01 – 2020-03-31
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| Keywords | モース・フレアー理論 / フレアーホモロジー / ディラック方程式 / ディラック・測地線 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
昨年度から引き続き、非線形ディラック方程式に対するモース・フレアー理論の研究を行った。昨年度までの研究で得ていた、優２次の非線形ディラック方程式に関する結果を、論文として最終的な形で書き上げることが出来た。
また今年度は、漸近的線形（汎関数に関しては漸近的２次）の非線形ディラック方程式に対するモース・フレアー理論を研究した。本年度までの研究で、モース・フレアーホモロジーの構成に必要な基本的事項である２つの事柄 1) 勾配流のなすモジュライ空間のコンパクト性とコンパクト化、 2) 勾配流空間に対する横断正則性、を非共鳴的・共鳴的な場合の両方においてほぼ全て証明できた。また、ホモロジーの計算の際に必要となるホモロジーの接続定理もほぼ全て証明できた。
これらの研究に並行して、Ali Maalaoui 氏と共同で、ディラック・測地線に対するモース・フレアー理論の研究に着手した。スピノルに関して３次あるいは優３次の非線形項を持つディラック・測地線汎関数に対して、相対モース指数の定義、勾配流空間のコンパクト性、勾配流の張り合わせ定理、勾配流に対する横断正則性定理など基本的な事柄を証明した。これらの結果は今後モース・フレアー型のホモロジーをディラック・測地線に対して定義する上での基礎となるものである。更に、ディラック・測地線汎関数のモース・フレアーホモロジーが、ルレイ・セール型のスペクトル系列の構造を持つ事を示唆する基本的な観察結果を幾つか得ることができた。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
漸近的線形な場合の非線形ディラック方程式に対するモース・フレアーホモロジーの構成と計算に関して、基本的な事柄をほぼ全て証明できたことと、ディラック・測地線に対して、今後のモース・フレアー型のホモロジーの構成と計算に関して基本的と思われる事柄を幾つか証明できたことから、共に最終的な論文の形にまではまだまとめあげきれてはいないものの、研究はおおむね順調に進んでいると考えていいと思う。
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| Strategy for Future Research Activity |
漸近的線形のディラック方程式のモース・フレアー理論に関しては、現在、証明を検証中である。今後も検証を進めて、最終的な形に仕上げて行く予定である。
ディラック・測地線のモース・フレアー理論に関しては、今年度の時点でホモロジーの構成まではほぼ終了しているので、今後はその計算とディラック・測地線の存在問題への応用を考察して行く予定である。ホモロジーの計算に際して、ディラック・測地線の配置空間がループ空間を底空間とする自然なファイバーバンドルの構造を持つ事、ディラック・測地線の成す複対はループ空間上の摂動された測地線汎関数のモース指数により自然なフィルター付けをもつこと、この２つのことから、ディラック・測地線のモース・フレアーホモロジーに収束するルレイ・セール型のスペクトル系列の存在が自然に予想される。この予想が証明できれば、非線形項が３次あるいは優３次の場合、ホモロジーの消滅定理が従うので、今後はルレイ・セール型のスペクトル系列の構成を目標に研究を行う計画である。
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