2015 Fiscal Year Research-status Report
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15K04951
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| Research Institution | Kanazawa University |
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Principal Investigator |
大塚 浩史 金沢大学, 数物科学系, 教授 (20342470)
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| Project Period (FY) |
2015-04-01 – 2020-03-31
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| Keywords | Rellich の等式 / Gel’fand 問題 / 解の爆発 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
非線形偏微分方程式の解の爆発現象は、解集合の全貌に示唆を与える事実として多くの研究者の関心を集めている。本研究の代表者も、指数関数型非線型項を持つ非線形楕円型境界値問題である、2 次元Gel’fand 問題の爆発現象の解析に取り組んできたが、近年、「Rellich の等式」の新たな活用方法を見出し、これを用いて、爆発に近づきつつある解の線形化作用素の固有値・固有関数の詳細な挙動を確定した。具体的には、問題を考えている領域から定まる行列が存在し、その行列の固有値・固有関数により線形化作用素の固有値・固有関数の挙動が定まることを見出した。
2 次元Gel’fand 問題は曲面論と関係が深く、「Rellich の等式」は、conformal Killing vector fieldと呼ばれる特別なベクトル場とLaplace作用素との交換子から導かれ、やはり幾何学との係わりが深い。本研究の目的は、この「Rellich の等式」の新たな活用方法を手がかりに、関連する高次元における問題や、多様体上の問題など、様々に拡張された問題における解の爆発現象の線形化問題を解析し、結論における次元や幾何学的構造などの影響を調べることで、背景にある数学的構造を解明することである。
今年度は計画に従って基礎研究期間と位置づけ、予備的な研究から見出されていた新たなconformal Killing vector fieldを用いて、2 次元Gel’fand 問題の線形化問題に関する解析を深めた。具体的には、2 次元Gel’fand 問題およびその線形化問題の解の漸近展開における項の間の新たな関係式を見出した。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
3: Progress in research has been slightly delayed.
Reason
漸近展開を解析する対象としては、2 次元Gel’fand 問題およびその線形化問題の解が最も基本的な物であり、単純なものである。しかし、それに対しても計算量が多く、得られた結果を検証し確定するのに、予想以上に計算時間を要してしまった。
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| Strategy for Future Research Activity |
基礎的な問題の解析に若干時間を要したが、より複雑な問題へ拡張するための計算方法を洗練することができたと考えている。方針は変更することなく、次年度以降も計画に従って継続する。
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| Causes of Carryover |
今年度途中に、次年度における海外での研究集会での講演依頼が２件あったため（９月ポーランド、１月イタリア）、今年度検討していた海外出張をとりやめ、予算の乏しい次年度に一定額を繰り越すことにした。
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| Expenditure Plan for Carryover Budget |
９月にポーランド、１月にイタリアで行われる研究集会に参加し、研究成果を発表する。
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