2017 Fiscal Year Research-status Report
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15K04951
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| Research Institution | Kanazawa University |
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Principal Investigator |
大塚 浩史 金沢大学, 数物科学系, 教授 (20342470)
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| Project Period (FY) |
2015-04-01 – 2020-03-31
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| Keywords | Rellichの等式 / Gel'fand問題 / 解の爆発 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
非線形偏微分方程式の解の爆発現象は、解集合の全貌に示唆を与える事実として多くの研究者の関心を集めてきた。本研究の代表者も、指数関数型非線型項を持つ非線形楕円型境界値問題である、2 次元Gel’fand 問題の爆発現象の解析に取り組んできたが、近年、「Rellich の等式」の新たな活用方法を見出し、これを用いて、爆発に近づきつつある解における線形化作用素の固有値・固有関数の詳細な挙動を確定した。具体的には、問題を考えている領域から定まる行列が存在し、その行列の固有値・固有関数により線形化作用素の固有値・固有関数の挙動が定まることを示した。
「Rellich の等式」は、conformal Killing vector fieldと呼ばれる特別なベクトル場とLaplace作用素との交換子から導かれることが知られており、幾何学との関連が深い。Gel’fand問題も、Gauss曲率（2次元）やQ-曲率（4次元）など、幾何学的概念との関連が深い。本研究の目的は、この「Rellich の等式」の新たな活用方法を手がかりに、関連する高次元における問題や、多様体上の問題などに現れる類似の線形化作用素の固有値・固有関数を解析し、結論における次元や幾何学的構造などの影響を調べ、背景にある数学的構造を解明することである。
今年度は昨年度に引き続き、4次元Gel’fand 問題の線形化問題を解析した。具体的には、4次元Gel’fand 問題およびその線形化問題の解の漸近展開の係数について、「Rellich の等式」から導かれる関係式の導出を進めた。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
3: Progress in research has been slightly delayed.
Reason
目標である4 次元Gel’fand 問題の線形化問題の解の漸近展開の係数の解析を進めたが、2次元の場合に比べ格段に複雑であり、昨年度から考察した特別な場合においても残念ながら確定的な結論を得るには至らなかった。方針はあり計算すべきものは分かっているという意味で停滞しているわけではないが、やや遅れていると言わざるを得ない状況である。
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| Strategy for Future Research Activity |
4次元のGel’fand問題に関する場合の計算は複雑であり、確定的な結論を得るための検算に時間がとられている。しかし、方針が定まらないというものではなく、研究時間の捻出に努め、次年度以降も計画に従って継続する。
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| Causes of Carryover |
（理由）今年度途中に、次年度における海外での研究集会での講演依頼があったため、予算の乏しい次年度に一定額繰り越すことにした。また、購入予定であったノートパソコンは、新製品発売の動向から購入を見送った。
（使用計画）7月に台湾で行われる研究集会に参加し、研究成果を発表する。また、研究用のノートパソコンを更新する。
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