2018 Fiscal Year Research-status Report
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15K04951
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| Research Institution | Kanazawa University |
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Principal Investigator |
大塚 浩史 金沢大学, 数物科学系, 教授 (20342470)
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| Project Period (FY) |
2015-04-01 – 2020-03-31
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| Keywords | Rellichの等式 / Gel'fand問題 / 解の爆発 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
非線形偏微分方程式の解の爆発現象は、解集合の全貌に示唆を与える事実として多くの研究者の関心を集めてきた。本研究の代表者も、指数関数型非線型項を持つ非線形楕円型境界値問題である、2 次元Gel’fand 問題の爆発現象の解析に取り組んできたが、近年、「Rellich の等式」の新たな活用方法を見出し、これを用いて、爆発に近づきつつある解における線形化作用素の固有値・固有関数の詳細な挙動を確定した。具体的には、問題を考えている領域から定まる行列が存在し、その行列の固有値・固有関数により線形化作用素の固有値・固有関数の挙動が定まることを示した。
「Rellich の等式」は、conformal Killing vector fieldと呼ばれる特別なベクトル場とLaplace作用素との交換子から導かれることが知られており、幾何学との関連が深い。Gel’fand問題も、Gauss曲率（2次元）やQ-曲率（4次元）など、幾何学的概念との関連が深い。本研究の目的は、この「Rellich の等式」の新たな活用方法を手がかりに、関連する高次元における問題や、多様体上の問題などに現れる類似の線形化作用素の固有値・固有関数を解析し、結論における次元や幾何学的構造などの影響を調べ、背景にある数学的構造を解明することである。
今年度は研究の膠着状態を打開するために、Gel’fand 問題の線形化問題に深く関連する、Gel’fand 問題のインパルス応答の解析に取り組み、爆発解の詳細の解析を試みた。残念ながら一般領域の場合まで解析は進められなかったが、回転対称の場合の応答の具体形を導き、今後の展開を予想することができた。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
3: Progress in research has been slightly delayed.
Reason
目標である4 次元Gel’fand 問題の線形化問題の解の漸近展開の係数の解析は、残念ながらやや膠着している。少し広い視点で考察するために2次元Gel’fand 問題に戻りインパルス応答の解析に取り組み、それ自体は一定の成果が得られたが、当初の計画はやや遅れていると言わざるを得ない状況である。
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| Strategy for Future Research Activity |
引き続き、4次元のGel’fand問題の線形化問題の解の漸近展開の係数の解析の計算を続けるが、インパルス応答などの類似の問題でも計算を進め、対比することで確定的な結論を得られるように努める。
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