2019 Fiscal Year Annual Research Report
New developments on linearized problems of nonlinear elliptic equations
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15K04951
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Research Institution | Kanazawa University |
Principal Investigator |
大塚 浩史 金沢大学, 数物科学系, 教授 (20342470)
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Project Period (FY) |
2015-04-01 – 2020-03-31
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Keywords | Gel'fand問題 / インパルス応答 / 平均場極限 |
Outline of Annual Research Achievements |
非線形偏微分方程式の解の爆発現象は、解集合の全貌に示唆を与える事実として多くの研究者の関心を集めてきた。本研究の代表者も、指数関数型非線型項を持つ非線形楕円型境界値問題である、2 次元Gel’fand 問題の爆発現象の解析に取り組んできたが、近年、「Rellich の等式」の新たな活用方法を見出し、これを用いて、爆発に近づきつつある解における線形化作用素の固有値・固有関数の詳細な挙動を確定した。具体的には、問題を考えている領域から定まる行列が存在し、その行列の固有値・固有関数により線形化作用素の固有値・固有関数の挙動が定まることを示した。 「Rellich の等式」は、conformal Killing vector fieldと呼ばれる特別なベクトル場とLaplace作用素との交換子から導かれることが知られており、幾何学との関連が深い。Gel’fand問題も、Gauss曲率(2次元)やQ-曲率(4次元)など、幾何学的概念との関連が深い。本研究の目的は、この「Rellich の等式」の新たな活用方法を手がかりに、関連する高次元における問題や、多様体上の問題などに現れる類似の線形化作用素の固有値・固有関数を解析し、結論における次元や幾何学的構造などの影響を調べ、背景にある数学的構造を解明することである。 昨年度に引き続き、Gel’fand 問題の線形化問題に深く関連する、Gel’fand 問題のインパルス応答の解析に取り組み、インパルス応答に帰着する時に要求される統計力学の極限操作(平均場極限)の収束について、既知の結果に含まれない、外力により摂動された点渦系において証明した。これは、困難な状況にある当初の解析対象に接近するための、新たな道を切り開くものだと考えられる。
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