2015 Fiscal Year Research-status Report
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15K04954
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| Research Institution | Nagoya University |
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Principal Investigator |
菱田 俊明 名古屋大学, 多元数理科学研究科, 教授 (60257243)
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| Project Period (FY) |
2015-04-01 – 2018-03-31
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| Keywords | 非圧縮粘性流 / Navier-Stokes方程式 / 外部問題 / 漸近挙動 / 最適制御 / Stokes流 / Oseen流 / 減衰構造 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
空間３次元の外部領域におけるNavier-Stokes方程式と流れを障害する剛体の運動方程式の連成系を考察した。特にシステム全体に外からの力とトルクが働かず、剛体は非圧縮粘性流体の中を境界面での相互作用だけによって運動する物理状況の数学解析を主題とし、運動する剛体に固定した座標系で見たときの定常運動を研究した。このような剛体の運動をself-propelled motionとよび、たとえば重力の作用による剛体の落下運動と対照的である。剛体の境界上で（たとえばプロペラや繊毛等によって）生成される速度場を与えて、流体の速度と圧力、剛体の重心の並進速度と重心まわりの回転角速度を決定する問題はある程度調べられていたが、これの逆問題の一種として、剛体の運動を与えて、それを達成する境界上での速度場を見つける問題は十分に研究されていなかった。このような問題を制御問題とよび、上記の境界上での速度場を制御とよぶ。微分方程式論の見地から、この問題の制御は無数にありうることが分かるが、そのことは制御の存在証明が易しいことを意味しない。また、物理的に特徴のある制御を見出すことが望ましい。本研究では、剛体の運動を遅く与えたときに、２種類の制御の存在を示した。１つめはその台を境界上で指定された小さいportion に含まれるように取れ、２つめは境界に接するベクトル場として取れる。論文は https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-01205210 で公開されていて、現在ある専門誌の査読にかけられている。
ほかに、２次元外部領域において、剛体が回転するときの流れの空間無限遠での減衰構造の成果は掲載が決定し、剛体が並進するときの流れの長時間挙動の成果は出版された。また、時間周期解や自己相似解等の時間依存流が臨界クラスで小さいときのエネルギ一安定性の成果も掲載が決定した。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
非圧縮粘性流体の中を運動する物体の運動と流体の運動の相互作用の数学的解明、また関連する諸問題の数学的基礎を与えることが目的である。この問題は物体の運動も未知であるので、その周りの流体の占める３次元外部領域が未知であり、その意味で自由境界問題となる。物体は剛体であるとして、self-propelled条件のもとでの境界上での制御問題に対して、まずは制御の存在を示すことができた。これは最適制御問題へ向けての第一歩である。種々の制御のうちで、適当な判定基準を設けて、それをみたす良い制御を求めることが次の問題であるが、その典型例として、物体が流れから受ける抵抗を最小にするような境界上での最適制御の存在問題がある。現時点までの研究によって、変分をとる許容集合は空でないことが保証された。また、self-propelled条件のうちの第一の条件、すなわち流体から物体へおよぼされる力が零であることから、流れの空間無限遠での減衰度が良いことも明らかにした。このことは、上記の最適制御解の小さい擾乱に対する安定性を調べる際、特に線型化方程式の初期値問題の長時間挙動を求めるときに役割を果たすと考えている。
また、２次元平面上での同様な問題の解析も目指しているが、２次元外部定常問題に対しては、Stokes方程式の基本解の無限遠での対数増大が引き起こすStokesの逆理とよばれる困難が知られている。物体の並進によるこの逆理の解消は知られていたが、物体が回転するときは、研究代表者による研究以前は未解明であった。しかし、回転による振動が良い減衰構造を導いてStokesの逆理が解消されることが分かったので (to appear in Springer Proceedings in Mathematics and Statistics)、平面上での流体と物体の相互作用による定常運動の解析への道が開かれた。
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| Strategy for Future Research Activity |
今後の研究について、これまで研究してきた制御問題に対して、達成しようとする剛体の運動の大きさについての制限をはずして、並進速度と回転角速度を任意に指定したときの境界上での制御の存在を示す。そして、上記の最適制御問題へ進み、物体が流れから受ける抵抗を与える汎関数をつくり、自明解を排除する適当な条件のもとでその汎関数を最小化するような制御の存在を示す。さらに、その最適制御解を特徴づける境界値問題をつくり、その境界値問題の解の一意性を示すことを通して、最適制御の一意性も示す。最適制御解の空間無限遠での漸近展開を与え、それの第一項に注意を払いながら、最適制御解を係数にもつ低階項を伴う回転-Oseen作用素を考察し、その基本的な諸性質、特に半群の生成と平滑性、長時間挙動を導く。これらの性質は、最適制御解の小さい初期擾乱に対する安定性を解析する際に欠かせないものである。
また、２次元の同様な問題も非常に興味深い。しかし、２次元外部領域でのOseen半群に対しては、その長時間挙動が研究代表者によって調べられていたが (J. Math. Soc. Japan 2016)、並進速度パラメ一タが小さいときに並進速度ゼロのStokes半群の場合とつながる形での評価となっていない。物体の回転を伴う場合も含めて、この問題を解決することは、平面上での流れの安定性解析の基盤となろう。
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| Causes of Carryover |
予定通りに海外渡航、国内出張を行い、また国際会議を組織したが、図書等の物品を購入しなかったので、残額が出た。また、この国際会議のための資金がほかにもあったが、そちらのほうは前年度中に使い切る必要があったことも、当資金に残額が出た理由である。
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| Expenditure Plan for Carryover Budget |
共同研究を継続しているフランスおよびポルトガルの研究者と議論するために、私が渡航、あるいは彼らを日本へ招聘する計画がある。これとは別に９月にイタリアへ行って、当研究計画と関連した外部定常解の安定性問題についての討論をナポリのMaremonti教授と行い、新たな共同研究も開始する。
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