2017 Fiscal Year Research-status Report
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15K04954
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| Research Institution | Nagoya University |
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Principal Investigator |
菱田 俊明 名古屋大学, 多元数理科学研究科, 教授 (60257243)
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| Project Period (FY) |
2015-04-01 – 2019-03-31
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| Keywords | 非圧縮粘性流 / Navier-Stokes方程式 / 外部問題 / 漸近展開 / 発展作用素 / 長時間挙動 / 安定性 / 制御 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
Navier-Stokes方程式の外部問題を考察した。まずはじめに、空間２次元の定常問題の困難の１つとしてStokesの逆理が知られているが、障害物の運動によりそれが解消される。特に回転効果による解消は研究代表者の近年の成果であるが、本研究では臨界減衰するNavier-Stokes流を小さく与えるとき、それの空間無限遠での漸近展開を求め、そのleading項を決定した（論文準備中）。また、そのleading項をつかさどる物理量が力ではなくtorque であることも明らかにした。以下では、空間３次元とする。障害物が回転はせず並進のみする場合の Finnのstarting問題は既に解かれているが、別の見地からの考察を行った。すなわち、障害物が有限時間後に到達する並進速度は小さいとするが、任意に大きい3乗可積分な初期値からstartしたときの定常解のattainability を示した（J.Math.Fluid Mech.に掲載決定、Online上では公開）。次に、障害物は並進だけでなく回転もし、その運動状態は時間により変化する問題を考察した。この場合の線型化作用素は時間依存係数をもち、nonautonomousとなるが、これの生成する発展作用素の長時間減衰評価を導出した（Math. Ann.に掲載決定、Online上では公開）。ほかに、定常問題、特に障害物の運動との連成系において外からの力とtorqueが働かずに境界面での相互作用だけによる定常運動を考察し、境界上での制御可能性を示した論文が出版された（Ann.I.H.Poincare-AN 2017）。すなわち、障害物の運動速度を遅く与えるとき、それをself-propelled運動として達成する境界上での速度場を見い出した。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
非圧縮粘性流体の中の物体の運動と流体の運動の相互作用の数学的解明、また関連する諸問題の数学的基礎を与えることを研究目的とする。はじめに、２次元定常問題において物体が運動するときのStokesの逆理の解消は知られていたが、特に回転する場合に臨界減衰するNavier-Stokes流を与えて、それの漸近展開を求めたことは成果であり、平面流の空間無限遠での減衰構造が障害物の運動状態とどのように関わるのかを知るうえでの基本的な結果と言える。また、３次元の問題に対して、Finnのstarting問題を従来よりも広い意味で解いたこと、すなわち初期値を大きく与えたときの定常解のattainabilityを証明したことも成果であった。さらに、障害物の運動速度（並進速度と回転角速度）が時間に依存するときの線型化作用素が生成する発展作用素の長時間減衰評価を妥当な条件のもとで導出したことは、種々の主流の安定性を考察するうえで基本的な役割を果たすものと期待される。最後に、定常問題に対して、self-propelled条件のもとでの境界上での制御問題に対して、物理的に特徴的な制御の存在を示したことは、最適制御問題へ向けての第一歩である。種々の制御のうちで、適当な判断基準を設けて、それをみたす良い制御を求めることが次の問題であるが、その典型例として、障害物が流れから受ける抵抗を最小にするような境界上での最適制御の存在問題があり、本研究によって、変分をとる許容集合は空でないことが保証されたことは成果であった。
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| Strategy for Future Research Activity |
今後の研究について、上記の最適制御問題へ進み、障害物が流れから受ける抵抗を与える汎関数をつくり、自明解を排除する適当な条件のもとでその汎関数を最小化するような制御の存在を示す。さらに、最適制御解を特徴付ける境界値問題をつくり、その境界値問題の解の一意性を示すことを通して、最適制御の一意性も示す。最適制御解の空間無限遠での漸近展開を与え、それのleading項に注意をはらいながら、最適制御解を係数にもつ低階項を伴う線型化作用素を考察し、その基本的な諸性質、特に半群の生成と平滑性、長時間挙動を導く。これらの性質は、最適制御解の小さい初期擾乱に対する安定性を解析する際に欠かせないものである。また、主流が時間依存である場合には、これまでの成果として得られた発展作用素の長時間挙動が基本的な役割を果たす。空間微分の評価がなくてもNavier-Stokes流を構成できることを明らかかにした点も成果であったが、空間微分の評価を用いるほうが、構成される解の情報は多い。このことも今後の研究の課題である。さらに、３次元の発展作用素に対する成果と同じことが２次元では得られていないので、これを進展させることも重要である。２次元では、障害物の回転角速度が一定であっても、半群の長時間挙動に関する成果は今のところなく、まず線型化方程式がautonomousの場合に通用するスペクトル解析を空間２次元の場合に考察する。
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| Causes of Carryover |
（理由）予定通りに海外渡航、国内出張を行ったが、図書を購入しなかったので、残額が出た。
（使用計画）残額はわずかであるが、図書、特にGaldiによる定常問題に関する著作を購入する。
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