2015 Fiscal Year Research-status Report
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15K04956
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| Research Institution | Kyoto University |
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Principal Investigator |
大鍛治 隆司 京都大学, 理学(系)研究科(研究院), 准教授 (20160426)
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| Project Period (FY) |
2015-04-01 – 2019-03-31
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| Keywords | ディラック作用素 / 極限吸収原理 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
研究代表者大鍛治隆司は、Hubert Kalf氏(ミュンヘン大学)・ 山田修宣氏(立命館大学)との共同研究において、数理物理学における最も重要な作用素の一つであるDirac作用素H=α・ｐ+mβ（m≧0）に対する一様な極限吸収原理についての考察を行った。ここで、極限吸収原理とは、ｚが実軸を除いた複素平面内の領域内を動いた時の実軸近傍でのレゾルベント1/(H-z)に対する重み付き評価式（複素位相エネルギー評価式）のことであり、複素変数ｚの実部が閾値(z=+m, -m)に等しい場合も許される時一様極限吸収原理という。この一様極限吸収原理が成り立つ重み関数のクラスについて考察を行った。その結果、ディラック作用素が1階システムである為、粒子の質量mが零である場合(massless case)とそうでない場合(massive case)について許容される重み関数（複素位相）のクラスが異なることが明らかになった。実際massiveの場合の方がmasslessの場合より狭い範囲でしか成り立たないことが示された。この証明中において、全空間で定義された関数を球面へ制限して得られるトレース作用素が、全空間上の位数1/2のソボレフ空間から球面上の2乗可積分関数の空間への連続作用素であり、かつ球面半径に依存しない有界線型評価式が重要な役割を果たすことが知られている。このトレース作用素についての評価式を示すのには通常は、抽象的補間法を用いるのであるが、今回それを用いない新たな初等的証明方法を見いだすことに成功した。その結果有界線型評価式の重み関数(複素位相)のクラスとしてより広い範囲のものにまで適用できる可能性が広まり、今後この知見のさらなる応用が期待される。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
ディラック作用素に対する重み付き不等式である極限吸収原理についてその一様評価を得ることが出来たことと、証明の鍵となるトレース評価式の新しい証明方法を見いだすことができたことによる。
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| Strategy for Future Research Activity |
種々の方程式に対する重み付き評価式を通じてそのスペクトル問題や逆問題について複素位相法の観点から考察を行い特異性を持つようなより広いクラスの重み付き評価式の開発推進に取り組んでゆく。特にポテンシャル項があるディラック作用素に対しても考察を行う。
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