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2015 Fiscal Year Research-status Report

p調和写像流の単調性評価と正則性特異性の研究

Research Project

Project/Area Number 15K04962
Research InstitutionKumamoto University

Principal Investigator

三沢 正史  熊本大学, 自然科学研究科, 教授 (40242672)

Project Period (FY) 2015-04-01 – 2018-03-31
Keywordsp調和写像 / p調和方程式 / 退化特異楕円型 / p調和写像流 / 退化特異放物型 / 正則性特異性
Outline of Annual Research Achievements

二つの滑らかなコンパクトリーマン多様体間の写像に対して, その一階導関数のp乗積分(p > 1), pエネルギー, を考える. その臨界関数(Euler Lagrange方程式の解)をp調和写像, またその勾配流をp調和写像流とよぶ. これらは,(時間発展) p調和方程式系, とくに, 非線形退化特異楕円型(放物型)2階偏微分方程式系の解として定まる.
1. 1 < p < 2の特異の場合について, 最良のデータの条件のもと, p調和写像型非線形退化特異放物型2階偏微分方程式系の解のヘルダー連続性を証明し国際雑誌に掲載した(研究発表参照). 2. さらに, データの最良条件のもと, 解の空間一階導関数のヘルダー評価を証明し国際雑誌に掲載した(研究発表参照). 3. p調和写像流の滑らかな解に対して, ほとんど最良のスケールエネルギーの有界性のもと, 一様に成り立つ新しい(先験的)正則性評価を証明した. このために, p調和写像流に対して, ほとんど最良のスケール関係にあるスケールエネルギーの単調性評価を構築した. この結果は, p=2の場合, 熱作用素によって定義される調和写像流に対する古典的結果を含む, 非線形退化特異放物型作用素からなるp調和写像流に対する正則性の結果である(論文投稿中). 4. p調和写像に関連するある新しい退化特異型エネルギー最小化問題を考案し, 対応する退化特異楕円型2階偏微分方程式系の弱解の正則性を証明した(研究発表参照).

Current Status of Research Progress
Current Status of Research Progress

2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.

Reason

当研究課題における当年度の研究計画であった, p調和写像流に対するスケールエネルギーの単調性評価を, ほとんど最良のスケール関係のもと構築した. また正則性条件については, スケールエネルギーの単調性評価によって, 対応する定常問題に対する正則性条件と比較して, ほとんど最良のスケールエネルギーの有界性によって正則性評価を証明することができた. しかし, ここで証明した条件は空間大域的なものであり, 今後, 局所化することが課題となる.

Strategy for Future Research Activity

1. pエネルギー有界な滑らかなp調和写像流に対して(先験的)局所正則性評価の成り立つための条件を証明する. このために, p調和写像流に対するあるスケールpエネルギー単調性評価を, 最良のスケール関係のもと, 時空局所的に証明する. 重み関数とカットオフ関数を適当に選んで評価する.
2. p調和写像流のpエネルギー有界な滑らかな解の族に対する弱コンパクト性の証明. とくに, 解の族のpエネルギ有限の関数空間における弱収束極限関数が, またp調和写像流の弱解であり, ある閉集合を除いて滑らかであることを証明する. p調和写像流の滑らかな解に対する(先験的)時空局所正則性評価が重要な役割を果たす.

Causes of Carryover

当初使用計画していた物品費, 旅費に使用しなかった金額が生じたため. とくに, 研究活動のための使用旅費が当初使用予定の旅費より増加したため, 当初予定していた物品の購入を取りやめた. 一方, 使用する必要のあった旅費が他大学負担によって賄われたため残額が生じた.

Expenditure Plan for Carryover Budget

次年度平成28年度には, 前年度平成27年度に生じた残額を次年度使用予定額と合算して, 旅費または物品費として使用する予定である.

  • Research Products

    (8 results)

All 2016 2015

All Journal Article (3 results) (of which Int'l Joint Research: 2 results,  Peer Reviewed: 3 results,  Acknowledgement Compliant: 1 results) Presentation (5 results) (of which Int'l Joint Research: 4 results,  Invited: 5 results)

  • [Journal Article] A H\"older continuity of symphonic maps into spheres2016

    • Author(s)
      Masashi Misawa, Nobumitsu Nakauchi
    • Journal Title

      Calc. Var. Partial Differential Equations

      Volume: 55, no. 1 Pages: Art. 16, 20. pp

    • DOI

      10.1007/s00526-015-0940-0

    • Peer Reviewed / Acknowledgement Compliant
  • [Journal Article] Gradient H\"older regularity for nonlinear parabolic systems of p-Laplacian type2016

    • Author(s)
      Corina Karim, Masashi Misawa
    • Journal Title

      Differential Integral Equations

      Volume: 29, no. 3-4 Pages: 201-228

    • Peer Reviewed / Int'l Joint Research
  • [Journal Article] H\"older regularity for singular parabolic systems of p-Lapalcian type2015

    • Author(s)
      Corina Karim, Masashi Misawa
    • Journal Title

      Adv. Differential Equations

      Volume: 20, no. 7-8 Pages: 741-772

    • Peer Reviewed / Int'l Joint Research
  • [Presentation] Monotonicity type estimate and regularity criterion for p-harmonic map heat flows2016

    • Author(s)
      Masashi Misawa
    • Organizer
      Variational Problems and Nonlinear Partial Differential Equations 2016
    • Place of Presentation
      東京理科大学理工学部数学教室(千葉県野田市)
    • Year and Date
      2016-03-24 – 2016-03-24
    • Int'l Joint Research / Invited
  • [Presentation] On a degenerate type variational problem and its heat flow2015

    • Author(s)
      Masashi Misawa
    • Organizer
      2015 NIMS Hot Topics Workshop on Regularity Theory on Elliptic and Parabolic Equations
    • Place of Presentation
      Sangsan Mathematical Science Bulding, Seoul National University, Seoul, Korea
    • Year and Date
      2015-12-10 – 2015-12-10
    • Int'l Joint Research / Invited
  • [Presentation] ある幾何学に現れる退化型変分問題とその熱流について2015

    • Author(s)
      三沢 正史
    • Organizer
      南大阪応用数学セミナー
    • Place of Presentation
      大阪市立大学理学部数学教室(大阪市住吉区)
    • Year and Date
      2015-11-28 – 2015-11-28
    • Invited
  • [Presentation] On a degenerate elliptic system and its heat flow2015

    • Author(s)
      Masashi Misawa
    • Organizer
      Nonlinear PDE Workshop at Tohoku University
    • Place of Presentation
      Kawai Hall, Faculty of Science, Tohoku University, Sendai, Japan
    • Year and Date
      2015-09-25 – 2015-09-25
    • Int'l Joint Research / Invited
  • [Presentation] The evolution of p-harmonic maps2015

    • Author(s)
      Masashi Misawa
    • Organizer
      Geometric Properties for Parabolic and Elliptic PDE's, 4th Italian-Japanese Workshop
    • Place of Presentation
      Palinuro, Italy
    • Year and Date
      2015-05-27 – 2015-05-27
    • Int'l Joint Research / Invited

URL: 

Published: 2017-01-06  

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