2017 Fiscal Year Annual Research Report
高次元波動方程式の基本解に含まれる微分損失が非線形問題に与える影響の解析
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15K04964
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| Research Institution | Future University-Hakodate |
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Principal Investigator |
高村 博之 公立はこだて未来大学, システム情報科学部, 教授 (40241781)
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| Project Period (FY) |
2015-04-01 – 2019-03-31
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| Keywords | 半線形消散波動方程式 / 初期値問題 / エネルギー解 / 時間大域存在 / 有限時間爆発 / ライフスパン / 臨界指数 / Strauss指数 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
前年度に得られたスケール不変な消散項をもつ半線形波動方程式の波動的な解の爆発、つまり、非線形波動方程式の臨界指数であるStrauss指数に関係していることを示す解の非存在定理は、その研究成果発表とともにこの分野の新しい解析の突破口として広く知れ渡った。そのため、多数の研究者たちのこの分野への参入を生み、本研究の結果を含むほぼ最良と思われる結果を部分的に解析した論文が複数出現した。そこで、それらの結果の最適性を保証する長時間存在定理の証明を後回しにして、今年度はより優先順位の高く更なる未解明領域である消散項の時間減衰がスケール不変より強い場合の波動的な解の爆発を解析することに着手した。
その結果、この場合にも証明の過程で消散項を吸収して半線形波動方程式の解のように扱うことができる未知関数の全空間積分の時間導関数に対する新しい変換を発見することができ、劣Strauss指数ではあるが、ほぼ望まれた形で解の最大存在時間であるライフスパンの上からの評価を与えることができた。その意味は、消散項がない場合と同じ評価が成立していることを、空間次元が２で２次の非線形項でかつ初期速度の全空間での積分がゼロでない以外の場合に証明できた、ということである。これは線形自由な解が同じく線形自由な波動方程式の解に時間無限大で漸近することに対応しており、長時間経過後には消散項の効果が非線形方程式に対しても出てこないことを表している。
今後は臨界Strauss指数の場合のライフスパンの上からの評価と、これまでの結果の最適性を証明する優Strauss指数における時間大域解の存在や劣Strauss指数のおける有限時間爆発時のライフスパンの下からの評価の証明が研究対象となる。特に、臨界Strauss指数における解の爆発はすでに部分的にできているので、まずはこの結果の完成が急がれている。
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