2017 Fiscal Year Research-status Report
平坦でない空間における楕円型偏微分方程式の解構造の解明
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15K04965
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| Research Institution | Osaka Prefecture University |
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Principal Investigator |
壁谷 喜継 大阪府立大学, 工学(系)研究科(研究院), 教授 (70252757)
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| Project Period (FY) |
2015-04-01 – 2019-03-31
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| Keywords | 球面上の領域 / 逆２次のポテンシャル / ラプラス・ベルトラミ作用素の固有値 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
平成29年度は、一般の、平坦でない空間での非線形楕円型偏微分方程式の解構造の解明前段階として、定曲率の空間である球面上の領域でのスカラー場型と呼ばれる楕円型偏微分方程式の解の分岐構造を明らかにした。具体的には、定数解から分岐する方位角のみに依存する解（いわば球対称解）と、それ以外の方向にも依存する解（いわば、非球対称解）の存在を解明した。2次元球面状の場合には、経度に依存する解が多重度２で分岐することも示すことができた。この解析においては、球面上の領域でのラプラス・ベルトラミ作用素のノイマン境界条件下での固有値の漸近分布を解析することが不可欠であるが、特殊関数であるルジャンドルの陪関数の性質を、ガウスの超幾何函数の性質に立ち返って詳細に解明することもできた。領域の摂動があるため、球面全体の固有値が摂動により分離することも分かった。これらの成果は、スイス・バーゼル大学 C. Bandle 氏、明治大学二宮広和氏との共著論文として，日本数学会函数方程式分科会の欧文誌である Funkcialaj Ekvacioj に掲載されることが決定した。
また、逆2次の項をポテンシャルにもつ線形放物型方程式の定常解の構造の解明についての成果は，その熱核の精密な評価の成果と合わせて，東京大学の石毛和弘氏、フランス・ボルドー大学の E. Ouhabaz 氏と共著論文として London Mathmatical Society 発行の学術雑誌に掲載された。
これらの二つの成果を合わせて統一的な理論を打ち立て、一般の平坦ではない空間での非線形楕円型偏微分方程式の解構造の解明を進めており、投稿すべく結果を原稿として整理中である。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
3: Progress in research has been slightly delayed.
Reason
一般化のための理論の構築に関して、原稿の構成を大幅に変更したために平成29年度中での一般論の論文投稿が間に合わなかったため、「やや遅れている」とした。
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| Strategy for Future Research Activity |
やや遅れの原因となってしまった論文をできるだけ速やかに完成させて投稿する。その中で、球面上の領域だけだなく、双曲空間上などでの具体的な問題に対して、構築した理論を適用して新たな知見を得ること目標とする。
また、平成30年度は最終年度でもあるので、総仕上げとしての一般理論の構築に取り組む。球面や双曲空間などの定曲率の空間においては、スカラー場型の非線形楕円型方程式の場合、線形部分の解には特殊関数が現れる。その特殊関数を解析することでより詳細な結果がえられることがこれまでの研究で分かってきているので、特殊関数についても研究を行う。特に、ベッセル関数、変形ベッセル関数、ルジャンドル関数などについても詳細に研究し、分岐点となる固有値の値とその多重度を詳細に解析する。一般の空間となると
線形部分の解の性質がわかりにくくなるが、解の漸近挙動は解明できることが今までの研究で分かっているので、定曲率の空間での成果を踏まえて、一般化を試みる。
さらに、分岐理論の立場と変分法の立場からと双方の立場から非線形楕円型偏微分方程式の解構造の解明を目指す。
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| Causes of Carryover |
共同研究のため計画していたイギリス・スウォンジ大学への出張を取り消さざるをえない状況が発生したため取り消したが、昨年度中に代替の期日設定ができず、主に出張費としての支出予定分が消化できずに残ってしまったため。
今年度は、日本から見て対蹠点付近のチリ大学への出張が予定されているため、旅費が今までよりも多くかかると予想される。また、課題解決のため学術専門書籍の買い足しが必要であるので、繰り越し残額を使い切る予定である。
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Research Products
(7 results)
