2015 Fiscal Year Research-status Report
複素領域での非線型偏微分方程式の解とその特異点の研究
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15K04966
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| Research Institution | Sophia University |
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Principal Investigator |
田原 秀敏 上智大学, 理工学部, 教授 (60101028)
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2015-04-01 – 2020-03-31
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| Keywords | 偏微分方程式 / 形式解 / ボレル総和法 / 漸近展開 / ｑ-差分方程式 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
１、自然数ｎがそのｑ-類似 [ｎ] に対応するという普通の対応関係のもとでのラプラス・ボレル変換のｑ-類似の構成は, 昨年度の研究で完全に達成された。今年度は, これの応用として, ｑ-差分偏微分方程式の発散形式解のボレル総和法の研究を行った。時間変数に関してはｑ-差分で, 空間変数に関しては偏微分をもつｑ-差分偏微分方程式は, 適当な条件のもとでは, ジェブレイ指数が１の発散級数解を持つ。この形式解に対して, それを漸近展開に持つ真の解を新しいｑ-ラプラス・ボレル変換を使って構成した。
２、フックス型非線型偏微分方程式は, 特異点を持つ関数を成分とするような形式解を持つ。方程式が非コワレウスキー型のときは, この形式解は一般的には収束しない。この形式解の多重ボレル総和可能性は, 線型偏微分方程式のときは山澤浩司（芝浦工大）によって示されていたが, 非線型偏微分方程式のときは未解決のままであった。今年度の研究により, 非線型偏微分方程式の場合にも「特異点を持つ形式解に対し, この形式解を古典的な意味で漸近展開とする真の解が存在する」ことの証明に成功した。しかし, 漸近展開を途中で切ったときの剰余項の評価とか, 得られた解の解全体の中での位置づけなど, 更に調べるべき課題は多く残った。
３、D. Bacani（上智大ＰＤ）と共同で, 高階のフックス型非線型偏微分方程式で, 時間変数について連続にのみ依存している場合の研究を行った。適当な条件のもとで, 解が一意的に存在することを示した。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
当初の予定では, 今年度は, ｑ-差分偏微分方程式と nonlinear totally characteristic type の方程式の研究を行う予定であった。しかし, 後半は, 良い着想を得たため順序を変更して, 特異点を持つ形式解のボレル総和法の研究に主力を注いだ。全体としては, 研究は順調に進展している。
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| Strategy for Future Research Activity |
初年度の研究は順調に進んだ。２年目は, 初年度に予定していた nonlinear totally characteristic type の方程式の研究と, 特異点を持つ形式解のボレル総和法の研究の継続を中心にやってゆきたい。３年目以降は, 申請時の研究計画に従って, 非線型偏微分方程式の解の特異点の全体像の解明に向けての研究を行う。
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| Causes of Carryover |
当初，研究代表者が海外研究者を訪問する予定であったが，スケジュールの問題からできなった。研究の全体を考えて, 無理な予算執行を行うよりも次年度の執行にまわした方がより効果的であると判断した。
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| Expenditure Plan for Carryover Budget |
必要な備品，消耗品（主に学術図書），研究打ち合わせ，研究成果発表のための旅費に使用する。平成２８年度は海外研究者の招聘ならびに訪問を計画している。また, 国際研究集会への参加のための旅費として研究費を用いる予定である。
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