2015 Fiscal Year Research-status Report
多孔質媒体内で起こる非線形現象を記述するマルチスケールモデルの解析
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15K04969
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| Research Institution | Japan Women's University |
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Principal Investigator |
愛木 豊彦 日本女子大学, 理学部, 教授 (90231745)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
熊崎 耕太 苫小牧工業高等専門学校, その他部局等, 准教授 (30634563)
村瀬 勇介 名城大学, 理工学部, 助教 (80546771)
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| Project Period (FY) |
2015-04-01 – 2018-03-31
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| Keywords | マルチスケール / 自由境界問題 / コンクリート中性化 / 周期解 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本研究は，コンクリートのような多孔質媒体において，巨視的構造と微視的構造をそれぞれの領域で考え，それらを組み合わせたマルチスケールモデルを導出し，その適切性を示すことを研究目的としている。
平成27年度は，コンクリート中性化における水分の質量保存則を考察対象として設定した。具体的には，１．微視的構造を1次元自由境界問題で記述し，巨視的構造はこれまで用いられてきた質量保存の方程式を採用したマルチスケールモデルの適切性と，２．1次元自由境界問題の周期解の存在を示すこととした。１と２に対する平成27年度の研究成果は，それぞれ次の通りである。
１．本研究において，水分の質量保存則を考える場合，最も困難な点は，相対湿度と飽和度の関係を数式で表現することである。これまで採用してきたヒステリシスの一種である遊び作用素は，入力と出力の連続依存性が弱く，コンクリート中性化過程全体を考える際には，不向きであることが分かってきた。そこで，この困難を克服するため，本研究では，その関係を自由境界問題で表すことにした。この場合，相対湿度と飽和度の連続依存性は十分であるが，解のより精密な最大値評価や，巨視的構造における空間変数に関する自由境界問題の解の可測性が必要であることが判明した。
２．相対湿度と飽和度の関係を記述する1次元自由境界問題において，境界条件を時間に関する周期関数とすると，周期解が存在することを証明した。この証明の過程において，自由境界問題の解を固定領域上に連続的に拡張した関数の集合を考え，この集合上で不動点定理を適用し，解の存在を示すことができた。これまでの研究では，自由境界で定まる境域における関数を固定領域上の関数に変換して考えることはあったが，自由境界を越えたところでの連続性が不明であったため，この着想に至らなかった。今回，この着想を生かすことで，周期解の存在を示すことに成功した。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
平成27年度の研究目的（１．マルチスケールモデル問題の適切性，２．相対湿度と飽和度の関係を記述する1次元自由境界問題）に対する達成度は以下の通りである。
１．これまでヒステリシス作用素を用いて表現してきた相対湿度と飽和度の関係を，1次元自由境界問題で表したマルチスケールの適切性について考察した。その結果，解の時間に関する局所的存在が証明できそうだという予想を得るに留まった。また，解の時間に関する大域的な存在を示すためには，巨視的な領域における方程式の見直しが必要であることも分かった。特に，重要なのは，解の大域的な一様有界性を得るためには，従来の化学反応を表す方程式では不十分なことが分かったことである。そこで，大域的な評価が得られるよう化学反応方程式自体を改善すれば良さそうであるという見通しは持っている。次年度は，まず，従来の巨視的方程式を用いたモデルの局所存在を証明し，その後，方程式に対する仮定を強めることで，大域解の存在を証明する。
２．1次元自由境界問題に対しては，時間に関する周期解の存在を示すことができたので，十分に当初の目的を達成できた。さらに，解のヒステリシス的な振る舞いを記述する手がかりも発見することができた。次年度は，この成果をまとめるとともに，考察過程で用いた常微分方程式による近似方法を適用し，初期値問題の解の収束速度と定常解との関係について考察する。これは，数値計算結果から得られた予想であり，解の収束速度が定常解に依存するという非常に興味深い結果を示している。
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| Strategy for Future Research Activity |
今後の研究の推進方策を，２つの研究目的（１．マルチスケールモデル問題の適切性，２．相対湿度と飽和度の関係を記述する1次元自由境界問題）ごとに述べる。
１．今年度は，マルチスケールモデルの適切性について考察し，解の時間に関する局所存在が証明可能そうであること，また，問題の設定を変えることで，解の大域的存在が占めそうだということがわかった。そこで，次年度はまず，問題の設定を変えずに，解の局所存在を証明する。そのためには，微視的領域で考えている自由境界問題の巨視的変数に対する解の可測性を証明しなければならない。この点を研究分担者である熊崎氏を中心に，証明について検討していく。その後，解の局所存在を明確に示す。ここまでを次年度の目標とする。この目標実現のためにも，研究打合せ回数を本年度より増やす計画である。
２．1次元自由境界問題については，境界条件が定数の場合，時間を無限大にすると解が定常解に収束することは証明済みである。また，数値実験の結果では，解の収束速度が定常解に依存している。この点を証明することが，2つ目の研究目的に対する今年の目標である。この点に関しては，1次元自由境界問題の専門家である長岡高専の佐藤直紀氏の協力を得ながら，研究を進めていく。また，その後の研究課題を発掘するためにも，研究分担者である村瀬勇介氏を中心に，数値実験も継続していく予定である。
以上より，次年度は2つの研究目的それぞれに具体的な目標を立て，その実現に向け研究を進めるとともに，本研究から生じた課題をまとめ，次の研究課題につなげていく。
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| Causes of Carryover |
旅費の節約により，未使用額が2562円発生した。
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| Expenditure Plan for Carryover Budget |
旅費の一部として使用する。
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