2016 Fiscal Year Research-status Report
準線形シュレディンガー方程式におけるラグランジュ乗数問題と安定性解析への応用
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15K04970
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| Research Institution | Kyoto Sangyo University |
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Principal Investigator |
渡辺 達也 京都産業大学, 理学部, 准教授 (60549749)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
足達 慎二 静岡大学, 工学部, 教授 (40339685)
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| Project Period (FY) |
2015-04-01 – 2019-03-31
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| Keywords | 非線形解析 / 変分問題 / 楕円型偏微分方程式 / 安定性解析 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本研究では、プラズマ物理学においてsuperfluid film方程式として導出される準線形シュレディンガー方程式において、定常問題として得られる準線形楕円型方程式の解構造（一意性・多重性・形状・漸近的プロファイルなど）を解析した。今年度の研究実績は以下の通りである。
パラメータの大きさによらない一意性：本研究では双対変分構造を与える写像の性質を詳しく解析することで、パラメータや指数の制限なしに正値解の一意性に関する結果を得た。本研究内容は足達慎二氏・柴田将敬氏との共同研究として『Global uniqueness results for ground states for a class of quasilinear elliptic equations』の題名で学術雑誌「Kodai Mathematical Journal」に掲載された。
また、ボルドー大学のMathieu Colin氏と共同で、磁場と相互作用する粒子の運動を記述するシュレディンガー・マックスウェル方程式やクラインゴルドン・マックスウェル方程式における初期値問題の可解性、定常問題のエネルギー最小解の存在および定在波解の安定性に関する研究を行った。さらにヴェローナ大学のMarco Squassina氏と準線形熱方程式の時間大域解の漸近挙動に関する結果も得た。最後にカルロス第３大学のPablo Alvarez-Caudevilla氏と協力系反応拡散方程式の研究、バーリ工科大学のAlessio Pomponio氏とボルン・インフェルト型微分方程式の共同研究も行った。これらの研究結果も学術雑誌に投稿中もしくは掲載が決定している。また、バーリ工科大学のPietro D'Avenia氏と2次元Chern-Simons方程式に関する共同研究も開始した。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
1: Research has progressed more than it was originally planned.
Reason
本研究の全体的な目標は、定常問題として得られる準線形楕円型方程式において、制限付き変分問題を考察した際に現れるラグランジュ乗数のパラメータに関する依存性（単調性・一意性）を解析することであるが、今年度の研究によってパラメータや指数の大きさに制限を加えることなく一意性と非退化性を示すことが出来た。
また海外の共同研究者と共に熱方程式の大域解の漸近挙動やクラインゴルドン・マックスウェル方程式の初期値問題など、これまで行っていなかった時間発展の問題に関する研究結果も得られた。さらにシュレディンガー・マックスウェル方程式系の定在波解の安定性解析、協力系反応拡散方程式の共存状態の研究、ボルン・インフェルト型微分方程式の研究など、今後の研究テーマにつながるような新規研究も始めることが出来た。以上の理由により、研究計画は当初の計画以上に進展していると考えている。
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| Strategy for Future Research Activity |
今年度までに得られた結果を下に、ラグランジュ乗数のパラメータ依存性の解析を行う。今後も平成28年度に引き続き、足達慎二氏・柴田将敬氏を研究協力者として研究を行う。本研究を推進するため、研究協力者と定期的に研究打ち合せを行う。海外の共同研究者とはメールを通じて連絡を取り合うが、余裕があれば日本への招へい、共同研究者が所属する大学への渡航も行いたい。また、国内の研究集会に積極的に参加し、様々な研究者と積極的に情報交換を行う。同時に、前年度と同様にＫＳＵ非線形解析セミナーを主催し、情報収集および共同研究のきっかけを作っていきたい。
研究代表者は本研究内容であるシュレディンガー方程式の他にも、固有値最適化問題・放物型方程式の大域解の漸近挙動の研究・弾性膜の変形を記述する楕円型微分方程式の解構造についての研究も行っている。したがって、本研究内容だけでなく他の問題にも取り組むことで、研究計画を実行するための知識を得るといったアプローチも行う。
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| Causes of Carryover |
「発展方程式若手セミナー」の実施において旅費で使用する予定だったが、当初予定より少なく済んだため。また、購入したかったパソコンが生産中止になり、代用品の金額が安かったため。
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| Expenditure Plan for Carryover Budget |
繰越金を物品費として使用する。その内訳は解析学関係書籍購入費110,000円である。平成28年度に購入できなかったパソコンの生産が再開されれば、そちらの購入も検討する。
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