2016 Fiscal Year Research-status Report
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15K04971
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| Research Institution | Ritsumeikan University |
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Principal Investigator |
藤家 雪朗 立命館大学, 理工学部, 教授 (00238536)
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| Project Period (FY) |
2015-04-01 – 2018-03-31
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| Keywords | Schroedinger作用素 / 準古典極限 / 共鳴 / 固有値 / スペクトルシフト関数 / 超局所解析 / WKB法 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本年度の研究実績を以下に列挙する。
１．J.-F.Bony, T.Ramond, M.Zerzeriとの共同研究において、新たな進展があり、２つの研究成果を得た。一つはハミルトン力学系の双曲型不動点における、対応するSchroedinger作用素の解の特異性の伝播定理を解析性をもたないポテンシャルに対して証明した。また、これを用いてポテンシャルの非退化な最大点が生成する共鳴の準古典極限における漸近分布を明らかにした。もう一つは、超局所コーシー問題の一意性とレゾルベントの（準古典パラメータに関する）多項式オーダーの評価が同値であることを示した。
これら２つの研究成果は投稿中である。
２．M.Assal, M.Dimassiとの共同研究で、行列値Schroedinger作用素のスペクトルシフト関数の準古典極限における漸近挙動について成果を得た。これはスカラーのSchroedinger作用素に対するRobert-田村の結果の行列値への拡張である。時間発展作用素を用いたRobert-田村の方法とは異なる、レゾルベントのトレースの解析接続を用いる方法を用いたことにより、行列値の場合に生じる困難な点を回避することに成功した。この結果は投稿中である。
３．J.Wittstenとの共同研究で、円周上のZakharov-Shabat作用素の固有値の、準古典極限における漸近分布について成果を得た。これはfocusingな非線形Schroedinger方程式の逆散乱法に現れる非自己共役な一階連立作用素である。実軸および虚軸に現れる固有値の量子化条件を、完全WKB法を用いて厳密に計算することに成功した。この研究成果は現在投稿中である。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
1: Research has progressed more than it was originally planned.
Reason
上記研究業績の概要に記述した１、２は当初から予定していた研究計画で、これらにおいて既に順調に研究が進展しているのに加え、当初予定していなかった、非自己共役なZakharov-Shabat作用素の研究も始まり、すでに３の研究成果があがった。この方面では、非線形Schroedinger方程式の初期値問題との関連でS.Kamvissisとの共同研究も進みつつある。その他、A.Martinez, 渡部拓也との共同研究である行列値Schroedinger作用素の共鳴の漸近分布に関する研究も進展しつつある。これらは２における行列値Schroedinger作用素の研究と深く関係しており、行列値作用素の漸近理論の構築を期待している。
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| Strategy for Future Research Activity |
上記研究業績の概要に記述した１、２に関しては研究の継続はもとより、成果の発表に努める。研究集会での講演や、若手研究者のための講義を国内外で予定している他、専門書も１、２双方についてそれぞれ執筆中である。
３については、ポテンシャルの非退化な極値における固有値の漸近分布を調べる予定である。方法としては、１で用いた超局所的な方法を、行列値の場合に拡張して用いる計画であるが、この場合次元は１であるので、今年度中にも成果が得られることを期待している。またこの研究には、２の共同研究者の一人であるM.Assalにも参画してもらう予定である。
その他上記現在までの進捗状況に記述したS.Kamvissisとの共同研究、A.Martinez, 渡部拓也との共同研究を継続し、研究成果を得ることを目指す。
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| Causes of Carryover |
３月下旬より４月上旬にかけてフランスへ共同研究のため出張したが、当該年度の残額が十分でなかったため、次年度の予算で執行することにしたため。
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| Expenditure Plan for Carryover Budget |
上記理由で述べたフランス出張を遂行したため、すでに当該年度の繰り越し分は使用済みである。
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