2017 Fiscal Year Annual Research Report
Semi-classical analysis of the Schroedinger equations
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15K04971
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| Research Institution | Ritsumeikan University |
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Principal Investigator |
藤家 雪朗 立命館大学, 理工学部, 教授 (00238536)
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| Project Period (FY) |
2015-04-01 – 2018-03-31
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| Keywords | 超局所解析 / 準古典解析 / シュレディンガー作用素 / 量子共鳴 / エネルギー交差 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
最終年度に実施した主な研究を内容ごとに概要を述べる．
（１）古典力学系の双曲型不動点における特異性伝播の定理を得た．双曲型不動点に付随する安定多様体上で準古典波面集合が空集合であれば，不安定多様体上でも準古典波面集合が空集合であるという定理を，生成作用素，消滅作用素を用いて証明することに成功した．また，この特異性伝播の定理を用いて，解析的でない滑らかなポテンシャルの非退化な最大点が生成する量子共鳴の準古典極限における漸近分布を明らかにした．
（２）行列値ポテンシャルを持つシュレディンガー作用素のスペクトルシフト関数（固有値の個数関数を連続スペクトルに拡張したもの）は，スカラーの散逸関数を持つとき，準古典において完全な漸近展開を持つことを証明した．これは，単独のシュレディンガー作用素に対するRobert-Tamuraの定理の連立作用素への一般化である．行列値ポテンシャルの固有値の交差するとき，連立の場合特有の難しさが生じるが，時間発展作用素を用いる従来の方法を用いず，レゾルベントによる作用素の関数の表示を用いる方法によって，困難を回避した．
（３）行列値ポテンシャルを持つシュレディンガー作用素の量子共鳴の準古典漸近分布を，エネルギー交差が起きる一次元２×２の典型的なモデルに対して研究を行った．エネルギー交差のレベルでの量子共鳴の分布についての結果を得た後，交差レベルより高いエネルギーでの量子共鳴の分布の研究を開始した．後者に対しては，前者で導入した解の構成法に加えて，超局所的な手法を用いて共鳴の幅の漸近挙動を調べている．
（４）非自己共役なZakharov-Shabat作用素を単位円周上で考察し，完全WKB法を用いて固有値の量子化条件を求め，その漸近分布を明らかにした．
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