2017 Fiscal Year Research-status Report
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15K04972
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| Research Institution | Ryukoku University |
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Principal Investigator |
四ツ谷 晶二 龍谷大学, 理工学部, 教授 (60128361)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
森田 善久 龍谷大学, 理工学部, 教授 (10192783)
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| Project Period (FY) |
2015-04-01 – 2019-03-31
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| Keywords | 非線形境界値問題 / 完全楕円積分 / 楕円関数 / 交差拡散方程式 / 反応拡散方程式 / 極限方程式 / 弾性曲線 / 線形化固有値問題 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
1979年に Kawasaki-Shigesada-Teramoto により提案された cross-diffusion 方程式において，cross-diffusion の効果をあらわすパラメータを無限大して得られる，時間発展極限方程式の定常解の安定性・不安定性を論文としてまとめるため，念のために，これまでの計算結果の再確認の作業を行なった．この過程において，これまでずっと定常解は高々２個存在すると思っていたが，拡散係数が極めて小さいとき，定常解が３個存在するパラメータ領域が存在することを，楕円関数を用いた解の表示式を用いた数値計算により発見した．
また，解の安定性を，線形化方程式を離散化した行列の一般化固有値問題を導出，固有値の様子を数値的に詳細に調べた．以上の研究成果を，院生達との共同研究の形で，国際会議において発表した．
さらに，関連する新しい数理モデルとして，非線形項が未知の解の定積分の値で定まる，非局所項を含む，Neumann 境界条件下での空間１次元 Allen-Cahn 方程式の定常解の大域的分岐構造を詳細に調べた．すべての解の楕円関数による解表示を求め，それを用いて解の大域的分岐構造の解析析，および，解の形状の明らかにすることができた．これを久藤教授，森博士，辻川教授との共著論文として発表した．
なお，若狭准教授との共同研究で発見した，重要で典型的な Neumann 境界条件下での空間１次元Allen-Cahn方程式の線形化固有値問題の，固有値・固有関数の楕円関数を用いた表示式が極めて有用であることがわかってきた．
加えて，代表者・分担者ともに・台湾の Jann-Long Chern 教授(国立中央大学)と，非線形楕円型境界値問題についての，共著論文を発表した．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
平成29年度の研究目的として，KST cross-diffusion 方程式の極限方程式に関すること，Neumann 境界条件下での１次元 Allen-Cahn方程式 の線形化固有値問題の固有値・固有関数に関すること，供給項をもつ Gierer-Meinhart 系の shadow systemに関することの三つがあった．
cross-diffusion方程式の時間発展極限方程式の定常解の安定性・不安定性についての研究については，従来の計算結果の再確認の過程で，定常解が３個存在するパラメータ領域が存在することを発見した．これに基づき，定常解における線形化固有値問題の固有値を再度数値計算で調べ，定常解の安定性・不安定性を明らかにした．cross-diffusion 方程式と３種系との関連性を利用してcross-diffusion方程式の大域的構造から３種系を理解していくことについては，検討をはじめた．おおむね予定通りである．
安定性解析において，線形化固有値問題の，固有値・固有関数の楕円関数を用いた表示式が極めて有用であることがわかってきた．非線形項の形の違いと固有関数の極限形状の違いの関連性を調べる問題についてはやや遅れてはいるが，おおむね予定通りである．
供給項をもつ Gierer-Meinhart 系の shadow systemに対して，すべての解の楕円関数を用いた表示式をを活用し大域的分岐構造と極限形状解明をすすめることについては，予備的な計算をおこなってところであるが，予定よりやや遅れている．
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| Strategy for Future Research Activity |
若干の遅れはあるものの，当初の研究計画通りにほぼ進んでいる．遅れた部分は，下記の今年度の研究予定と密接な関連があるものなので，そこでとりかえしていきたい．
cross-diffusion方程式に関連する数理モデルについて，すべての解の楕円関数による解表示を用いて解の大域的分岐構造の解析，および，解の形状の詳細を論文発表する．
cross-diffusion方程式と３種系との関連性を利用しcross-diffusion方程式の大域的構造から３種系を理解した結果をまとめる．
供給項をもつ Gierer-Meinhart 系の shadow systemに対して，大域的分岐構造と極限形状解明結果をまとめる．
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| Causes of Carryover |
（理由）交付申請書の平成29年度の直接経費計1,194,340円，品目別内訳は,物品費100,000円，旅費600,000円，人件費・謝金50,000円，その他50,000円であった．直接経費支出額計722,008円，品目別内訳は，物品費13,068円，旅費299,340円，人件費・謝金399,600円， その他10,000円であり，差異は 472,332円である．
差異の大きなものは旅費と人件費・謝金とであり，次に物品費，さらにその他である．旅費と人件費・謝金の差異の原因は，研究室での数値計算・データ整理のために人件費・謝金を多く使い，予定していた出張を次年度以降に変更したためである．物品費は，次年度以降での数値計算遂行のために節約した．
（使用計画）次年度は，予定していた計画より成果発表と最新情報交換のための出張を積極的に行ない，同時に数値計算を組織的に行ない，新しい事実を発見し，それをもとに数学的な解析をすすめていきたい．これらのために，請求した助成金とあわせて，次年度使用額 472,332 円を有効に使う計画である．
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