2017 Fiscal Year Annual Research Report
Book embedding of graphs on surfaces based on cycle finding problems
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15K04975
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| Research Institution | Yokohama National University |
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Principal Investigator |
中本 敦浩 横浜国立大学, 大学院環境情報研究院, 教授 (20314445)
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| Project Period (FY) |
2015-04-01 – 2018-03-31
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| Keywords | グラフ / 本型埋め込み / ページ数 / 種数 / ハミルトン閉路 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
グラフの本型埋め込みやページ数に関する研究は，理論的にも実用的には重要なテーマであり，今日まで様々な研究がなされてきている．そして，理論的な興味から，グラフの種数とページ数の関係性を記述する研究は大変興味深いと思われる．本研究では，曲面上のグラフの中のある性質を満たす閉路の存在を巧妙に用いて，グラフのページ数の評価を行う試みを行った．最も基本的な問題「どんな平面的グラフも４ページ埋め込み可能であるか．また，４ページ必要な平面的グラフが存在するか」については，結論は出せなかったが，これにともなって提唱したいくつかの予想に対して，結果を得ることができた．
まず，トーラス上のグラフが７ページ埋め込み可能であることが，Endo(1997)によって証明されている．その手法を模倣し，私たちは，任意の向き付け可能曲面上において，どんな局所平面的グラフ（どんな非可縮サイクルも十分な長さを持つ）も７ページ埋め込み可能であることを証明することに成功した．この結果は，どんなにグラフの種数が高くてもある種の性質を満たせば，そのページ数が定数で抑えられることを指摘しており，一般に，グラフのページ数は種数に応じて単調増加するという事実と対照的な現象を指摘しており，理論的に大変興味深いと言える．
さらに，既存の研究成果から，射影平面上のグラフについて，そのページ数は９以下であることが既知であったのに対して，私たちは，射影平面上のグラフに良い性質を満たすハミルトン閉路が存在することを示すことにより，「９ページ」という上界を「７ページ」に改良することに成功した．さらに，射影平面上のグラフの連結度を４と５に制限することにより，その上階をそれぞれ「５ページ」と「３ページ」とすることに成功した．
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