2015 Fiscal Year Research-status Report
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15K04977
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| Research Institution | Kobe University |
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Principal Investigator |
Brendle Jorg 神戸大学, その他の研究科, 教授 (70301851)
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2015-04-01 – 2018-03-31
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| Keywords | 数学基礎論 / 集合論 / トポロジー / 測度論 / 強制法 / 国際情報交換 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
平成２７年度は、強制法の理論などの洗練された技法を用いて実数全体の組合せ論的構造を集合論の観点から調べた。特に、連続体の濃度を第二非可算基数より大きくする強制法の反復法の新しい技法の発展に焦点を絞って、連続体の基数不変量の間の大小関係に関する問題などの重要な問題を解決することによって実数全体の部分集合についての理解を深めた。主な研究実績は下記通りである。
1. まずコーエン実数を付け加え、次に慎重な有限台の反復強制法を行うことによって、任意の非可算の濃度の、その二乗が Q でない Q 集合の存在が無矛盾であることを証明することによって、A. Miller の問題を解決した。
2. Y. Khomskii とW. Wohofsky との共同研究で、Marczewski のイデアルとその同類イデアルをいくつかの観点から調べ、特に Marczewski のイデアルに関するボレル予想が連続体仮説から導かれ、コーエンモデルにおいて成り立つため連続体仮説の否定とも無矛盾であることを証明した。また、Laver 強制法に対応する Laver イデアルと Miller 強制法に対応する Miller イデアルの共終数が連続体の濃度より真に大きいことを示した。
3. M. Hrusak との共同研究で、D. Monk によって導入された極大樹木というブール代数に関する概念を探究し、例えば可算のレベルをもつ極大樹木が存在しないことを証明した。
4. A. Blass, W. Brian, J. Hamkins, M. Hardy と P. Larson との共著論文において、リーマンの再配列定理と自然に関連するいくつかの連続体の基数不変量を調べた。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
連続体の基数不変量の間の大小関係や、強い極大性条件を満たす実数全体の部分集合の存在または非存在などのテーマに関する研究が当初の計画以上に進展している。特に、メキシコ国立自治大学での長期間の滞在と M. Hrusak などの研究者との共同研究や、いくつかの他の海外出張のため、上記のテーマについて期待より多くの新しい研究プロジェクトに着手した。しかし、二種類のモデルの列を付帯条件として用いる可算台の反復強制法のような新しい技法の発展についての研究が少し遅れている。
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| Strategy for Future Research Activity |
最新の反復強制法構成からのアイディアをはじめ、組合せ論的集合論、トポロジーや測度論などの数学の分野の最先端の技法を用いて、いくつかの問題の解決に焦点を絞って、大きな連続体のコンテキストにおいて新しい強制法による集合論の公理系のモデルの構成について研究を行って行く。
まず、平成２７年度の上記の研究を継続し、特に進行中の O. Guzman と M. Hrusak との、あるタイプの極大のほとんど交わりがない集合族についての共同研究を完成する予定である。また、二種類のモデルの列を付帯条件として用いる可算台の反復強制法を発展し、「全疎の極大フィルターの非存在」や「ボレル予想かつ d=c」などの主張が大きな連続体と無矛盾であることの証明を試みる。
強制法の理論や実数の集合論などについては世界的に研究が行われているため、海外の指導研究者との意見交換や共同研究は必要不可欠である。そのため外国旅費に重点をおく計画である。現在の主な研究打合せや研究の成果発表の予定は下記通りである。
９月：BIRS-CMO オアハカ（メキシコ）で行われる研究集会「Set Theory and its Applications in Topology」への参加の際、Hrusak などの参加者との共同研究。１２月：CRM バルセロナ（スペイン）で行われる研究プログラム「Large cardinals and strong logics」への参加の際、Larson, Velickovic などの参加者との共同研究。２月：MFO オーバーヴォルファッハ（ドイツ）で行われる研究集会「Set Theory」への参加の際、Raghavan などの参加者との共同研究。
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| Causes of Carryover |
いくつかの海外出張のとき、滞在費（日当または宿泊費）が相手の研究機関から出たため、必要な旅費が期待より少なかった。
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| Expenditure Plan for Carryover Budget |
上記の「今後の推進方策」で説明した通り、外国旅費に重点をおいて使用する。また、１１月２８日～１２月１日に京都大学数理解析研究所で行われる研究集会「無限組合せ論と強制法理論」の際に来日する海外の指導研究者の滞在費の援助として使用する予定である。
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