2016 Fiscal Year Research-status Report
エンタングルメント量子チャネルの相互エントロピーと量子符号化定理の定式化の基礎付
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15K04983
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| Research Institution | Tokyo University of Science |
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Principal Investigator |
渡邉 昇 東京理科大学, 理工学部情報科学科, 教授 (70191781)
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| Project Period (FY) |
2015-10-21 – 2019-03-31
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| Keywords | エンタングルメント / 量子チャネル / 量子エントロピー / 量子力学的エントロピー / 量子情報理論 / 量子符号化定理 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
情報理論は可換系及び量子系の確率論を基礎に構築され，近年は周辺領域が盛んに研究されている。特に量子情報通信理論の研究は，情報を核に共通の土俵の上で進められ、得られた結果は情報科学のみならず，様々な分野へ応用されている。本研究計画では，ヒルベルト空間論，作用素代数論，微分方程式などの既存の数学に情報理論や物理学における諸概念を取り入れ，本年度は，(1)量子干渉性を含むチャネル理論の定式化を行った。
量子系におけるチャネルの研究では，ホレボーによって，半古典的 (一方が古典系の) チャネルが導入され，さらに，大矢によって，量子力学的 (完全な量子系における) チャネルが定式化されている。 特に，光通信過程との関連では，大矢による減衰過程を表すチャネルの数理モデルの定式化の研究をあげることができる。この量子チャネルの研究は，一般的には非可換な系から非可換な系への変換を取り扱うものであるが，非可換系が可換系を含むという数学構造を考えると量子チャネルは半古典的なチャネルや古典的なチャネルの議論までをも含んだより一般的な表現と言うことができる。 このような観点から，古典系から量子系への古典-量子チャネルや，量子系から古典系への量子-古典チャネルなども量子チャネルのある特別な場合として取り扱うことができ，古典-量子チャネル，量子チャネル，量子-古典チャネルという一連の伝送過程が一貫した数理構造を用いて統一的に議論することができるのである。
本研究では，量子密度符号化や量子テレポーテーションなどの量子干渉性を含むチャネルの特徴付けを行い，以下の研究を行った。
(a) 量子干渉性を含むチャネルに対する量子相互エントロピーの性質を調べた。
(b) 量子平均相互エントロピーの定式化を基に，量子系のチャネル符号化の定理の定式化に必要な数理的基礎を構築するために量子力学的相互エントロピーの定式化を研究した。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
可換系のチャネル符号化定理は、力学的エントロピーから得られる平均相互エントロピー（伝送速度）の限界を伝送容量から示し、誤りの少ないチャネルや符号化を構成する重要な基準を与えている。この定理の量子系への拡張である量子チャネル符号化定理は量子情報理論の中心課題であり非可換性や干渉性等を含む課題の解決が求められている。
本研究では、研究代表者が行ってきた量子系の力学的エントロピーや平均相互エントロピーの研究をベースに、量子系特有の性質である干渉性を示すチャネルの特徴付けと伝送容量を調べ，量子チャネル符号化定理の定式化に向けた種々の課題を解決することを主な目的とする。
本研究では，量子干渉性を含むチャネルと量子系の力学的エントロピー理論の研究を基に，量子符号化定理の完全な証明を与えることを最終目標とし，その定式化に必要となる数理的基礎をひとつひとつ積み上げていく。
量子的な特質を持つ光子を信号に用いる光通信過程の研究は，1980年代頃に盛んに行われていたが，量子コンピューティングの研究が始められたことに伴い，現在では，量子情報という，数学・物理学・計算科学・情報科学・情報工学の複合領域にまたがる新たな分野が形成され世界的に研究が行われている。量子情報通信過程の数理的研究では，量子確率論をベースとして，(1) 量子符号化の定理，(2) 量子エントロピー理論，(3) 量子チャネル理論，などの様々な研究が行われている。そのため，近年，光を信号に用いる光通信過程が量子情報通信理論により議論され，様々な結果が得られている。特に，量子密度符号化や量子テレポーテーションなどの量子系に特有の量子エンタングルメントの性質を利用した量子チャネルに対する情報伝送の効率を調べる研究では，シャノン理論との相違点が指摘され，量子干渉性を含む通信過程の定式化の研究を実施した。
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| Strategy for Future Research Activity |
本研究の最終目標は，符号化の定理を証明するための基礎付けをすることである。そのために，量子確率論をベースとして，エンタングルメントの数理をもとに定められる量子干渉性を含むチャネル理論，量子エントロピー理論を拡張し，それらを相互に関連付けることが必要である。さらに，量子系の平均相互エントロピーの定式化には，量子干渉性を含むチャネルの研究を通して，量子系の力学的エントロピーの研究をさらに展開させることが必要である。
本研究では，量子系の力学的エントロピーと量子系の平均相互エントロピーの研究を基に，量子干渉性を含むチャネルに新たな尺度を導入し，量子符号化の定理を証明するための基礎付けを与える研究を行う。最終年度に向けて，特に，チャネル符号化の定理を取り扱う。この定理は，エルゴード性を持つ通信過程における情報源のエントロピーがキャパシティ（通信路容量）より小さい場合には，受信メッセージから送信メッセージをいくらでも高い精度で推定することができることを示している。この定理により，通常の情報通信理論の研究は，効率の良い符号を生成するための理論（符号理論）へと展開していくことになる。現在，量子情報通信理論において，ショア，ベネット，ニールセン等によりコヒーレント・エントロピーやリンドブラット-ニールセンエントロピーなどの量子相互エントロピー型の複雑さの尺度を用いた量子チャネル符号化の定理の議論がなされている。しかしながら，これらの尺度が，負の値を取り，シャノンの基本不等式を満たさないといった情報通信の尺度として都合の良くない性質を持つことが本研究代表者達によって指摘されている。
本研究では，最も適切な量子相互エントロピー型の尺度を見極め，量子系のシャノン-ファインシュタインの定理(チャネル符号化の定理)の証明を行うための基礎付けを行う
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| Causes of Carryover |
本課題の研究によって，量子干渉性を含むチャネルに対する量子系の平均相互エントロピーを定式化し，平均相互エントロピーの加法性が証明できる。さらには，量子干渉性を含むチャネルを考慮した量子符号化の定理の定式化の糸口が得られ，単に数学的理論の構築だけでなく，量子情報通信の物理工学的な発展に役立つ理論の定式化が可能となると考えられる。特に量子情報通信理論の研究は，情報を核に共通の土俵の上で進められ、得られた結果は情報科学のみならず，様々な分野へ応用されている。本研究計画では，ヒルベルト空間論，作用素代数論，微分方程式などの既存の数学に情報理論や物理学における諸概念を取り入れることが必要である。そのため，量子情報の数理に関連する研究を行っている国内外の研究者との議論を実施するために国際会議を次年度に開催する。
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| Expenditure Plan for Carryover Budget |
古典系の通信理論では，ＫＳ(コロモゴロフ-シナイ) エントロピーを用いて平均相互エントロピー（情報量）が定められ，通信理論において最も重要な定理の一つであるチャネルの符号化の定理が証明されている。このチャネル符号化の定理は，入力信号を符号化する際の誤り確率の上限を与えており，この定理を用いることによって符号化された信号に対して通信の効率などをきちんと取り扱うことができた。量子系のチャネル符号化の定理を議論する上で，上記の量子系の力学的エントロピーが本質的な役割を果たすものと考えられる。このため，次年度に量子情報の数理に関連する研究を行っている国内外の研究者との議論を実施するために国際会議を開催する。
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[Presentation] Note on Entropy for Quantum Open Systems2016
Author(s)
Noboru Watanabe
Organizer
International Conference on New Trends in Mathematical and Theoretical Physics
Place of Presentation
Steklov Mathematical Institute, Moscow, Russia
Year and Date
2016-10-03 – 2016-10-07
Int'l Joint Research / Invited
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[Presentation] Note on Complexity for Quantum Open Systems2016
Author(s)
Noboru Watanabe
Organizer
The 37th International Conference on Quantum Probability and Related Topics (QP37)
Place of Presentation
International Islamic University, Kuantan, Malaysia
Year and Date
2016-08-22 – 2016-08-26
Int'l Joint Research / Invited
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