2017 Fiscal Year Research-status Report
エンタングルメント量子チャネルの相互エントロピーと量子符号化定理の定式化の基礎付
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15K04983
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| Research Institution | Tokyo University of Science |
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Principal Investigator |
渡邉 昇 東京理科大学, 理工学部情報科学科, 教授 (70191781)
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| Project Period (FY) |
2015-10-21 – 2019-03-31
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| Keywords | エンタングルメント / 量子チャネル / 量子エントロピー / 量子力学的エントロピー / 量子情報理論 / 量子符号化定理 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
情報理論は、現代の情報化社会を支える基礎理論の一つであり、確率論をベースに一連の情報量(エントロピー)が定められ，可換な信号空間における情報伝送の効率を調べることを可能にしている。特に，チャネルの伝送効率の基準を与える可換系のチャネル符号化の定理は、誤りの少ないチャネルを設計する上で重要な役割を果たしており、その定理の一般化の研究が，力学的エントロピーおよび平均相互エントロピーを用いて行われている。この符号化定理は量子情報理論の重要課題でありその解決が待望されている。本研究では，量子系特有の性質であるエンタングルメント性を持つ量子チャネルに対して伝送効率を調べ，さらに，量子系の力学的エントロピーと平均相互エントロピーの定式化をもとに量子チャネル符号化の定理の定式化の数理的研究を行うことを主な目的とする。情報理論は可換系及び量子系の確率論を一つの基礎として構築されており，近年はその周辺領域の研究がとみに盛んである。とくに量子情報通信理論の研究が，情報を核とした共通の土俵の上で進められている。例えば，量子情報通信理論から得られた結果は通信理論などの情報科学のみならず，様々な分野へ応用されてきている。本研究計画では，ヒルベルト空間論，作用素代数論，微分方程式などの既存の数学に情報理論や物理学における諸概念を取り入れて，以下の課題に取り組む：(1)エンタングルメント量子チャネル理論の定式化、(2)量子系の力学的エントロピー理論の展開、(3)量子符号化の定理の解決に向けた基礎研究
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
古典系の通信理論では，ＫＳ(コロモゴロフ-シナイ) エントロピーを用いて平均相互エントロピー（情報量）が定められ，通信理論において最も重要な定理の一つであるチャネルの符号化の定理が証明されている。量子系のチャネル符号化の定理を議論する上で，上記の量子系の力学的エントロピーが本質的な役割を果たすものと考えられる。大矢の導入したＣ*-系のエントロピーと相互エントロピーは，量子エンタングルド状態を分類する尺度を定める上で必要不可欠なものとなっている。本研究では，量子系におけるチャネル符号化の定理の証明の基礎付けを与えるために，ＫＯＷエントロピーの考えを導入して作られる新たな一般化されたＡＯＷエントロピーを新たに定め，それらが基本不等式を満たすことを示した。大矢-塚田-梅垣は，富田-竹崎定理と量子確率論における十分性の概念を用いて，古典系のエントロピーの積分表現に関するマクミラン型定理をフォンノイマン代数によって記述される非可換系に拡張できることを示した。すなわち，条件付期待値の存在に関するある仮定のもとで，非可換系の定常状態から定まるエントロピー型作用素が定常状態によらずある定まった作用素によって常に表現できることを示した。この結果は，量子系のマクミランの定理を定式化するための基礎付けを与える研究に関連している。さらに，大矢-塚田-梅垣は，フォンノイマン代数のセンターの概念を用いて，一般的な形で量子系のマクミランの定理の証明を与えている。また，この研究は，状態の分離可能性とも密接に関連し，幾つかの状態が相関した量子エンタングルメントの研究とそのチャネルによる定式化の重要な鍵となると考えられる。本年度は、本課題と密接に関連した量子確率論と無限次元解析に関する国際会議を開催し、量子系の複雑量のさらなる精密化についての研究を実施した。
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| Strategy for Future Research Activity |
大矢-塚田-梅垣は，富田-竹崎定理と量子確率論における十分性の概念を用いて，古典系のエントロピーの積分表現に関するマクミラン型定理をフォンノイマン代数によって記述される非可換系に拡張できることを示した。すなわち，条件付期待値の存在に関するある仮定のもとで，非可換系の定常状態から定まるエントロピー型作用素が定常状態によらずある定まった作用素によって常に表現できることを示した。この結果は，量子系のマクミランの定理を定式化するための基礎付けを与える研究に関連している。さらに，大矢-塚田-梅垣は，フォンノイマン代数のセンターの概念を用いて，一般的な形で量子系のマクミランの定理の証明を与えている。また，この研究は，状態の分離可能性とも密接に関連し，幾つかの状態が相関した量子エンタングルメントの研究とそのチャネルによる定式化の重要な鍵となると考えられる。さらに，量子平均相互エントロピーの定式化のためには，前年度までに行った量子系の力学的エントロピーの研究の発展が不可欠である。(a) 大矢-塚田-梅垣の定理を遷移期待値や条件付期待値を用いて，より一般的な量子系に拡張し，そ
れを用いて量子符号化の定理の証明を試みる予定である。(b) ショア, ベネット, ニールセン等々によりコヒーレント・エントロピーやリンドブラット-ニールセンエントロピーなどの相互エントロピータイプの尺度を用いた量子符号化の定理が部分的に議論されている。しかし，本研究代表者達により，これらの尺度は，(i) 負の値を取り，(ii) 入力情報量より大きくなるなどの不都合な点が指摘され，情報通信の尺度として有効でないことが示されている。本研究では，量子相互エントロピーと量子系の力学的エントロピーの定式化を基に，エンタングルメント量子チャネルに対する新たな尺度を導入し，量子符号化の定理を証明するための基礎付けを与える研究を行う。
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| Causes of Carryover |
2016年度まで、本研究課題で得られた成果を国際会議で発表し、国際ワークショップQBICを開催してましたが、昨年度は、本研究課題と極めて関連のある国際会議「The 38th International Conference on Infinite Dimensional Analysis, Quantum Probability and Related Topics, QP38 at TUS on 2017, Tokyo University of Science, Noda, Japan, 2017-10-2～2017-10-6」を主催するため、前倒し支払請求額30万円を申請しました。2017年度は、本研究課題で得られた成果を国際会議で発表し、国際会議「QP38」への招聘旅費と講演者謝金への支出を主に行いました。この際、予定していた招待講演者の来日が困難となったため次年度への繰越が生じました。次年度に向けて、本研究課題の更なる発展と結果の取り纏めを行う予定です。
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[Book] Note on entropy-type complexity of communication processes, WHITE NOISE ANALYSIS AND QUANTUM INFORMATION, Edited by L.Accardi, Louis H.Y.Chen, T.Hida, M.Ohya, Si Si, N.Watanabe, Lecture Notes Series, Institute for Mathematical Sciences, National University of Singapore2017
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