2015 Fiscal Year Research-status Report
エントロピー圧縮による力学系・流体力学の新しい解析手法の開発
| Project/Area Number |
15K04986
|
|---|
| Research Institution | Hokkaido University |
|---|
Principal Investigator |
荒井 迅 北海道大学, 理学(系)研究科(研究院), 准教授 (80362432)
|
|---|
| Project Period (FY) |
2015-04-01 – 2018-03-31
|
| Keywords | 数値解析・数理モデル / 力学系 / アルゴリズム |
|---|
| Outline of Annual Research Achievements |
本年度は、離散力学系の有向グラフによる表現を効率的なデータ構造を用いて改良する研究と、その力学系理論への応用の研究を主に進めた。具体的には、相空間を表す二分木を簡潔データ構造と呼ばれるデータ構造の一種を用いてコンパクトに表現し、また有向グラフを一度に生成するのではなく、必要に応じて動的に生成しながらグラフ上の探索を行なうことで、少ないメモリで力学系の大域的計算を実行するアルゴリズムを開発した。さらに、得られたアルゴリズムを実装して、既に開発していた一様双曲性証明プログラムやモノドロミー計算プログラムに取り入れることに成功した。これにより相空間の分割要素数を従来よりも数十倍程度まで増やすことが可能になり、より高精度な計算や、高次元の力学系への応用が可能になった。
また、このアルゴリズムを応用することで、複素エノン写像という重要な力学系について以下のような新しい結果が得られた。まず、従来より一様双曲性が示唆されていたものの証明が得られていなった、幾つかのパラメータにおける一様双曲性の証明に成功した。これらのパラメータでは複数の吸引的な周期軌道が共存しており、一次元の複素力学系からの摂動で得られるダイナミクスとは本質的に異なるダイナミクスが一様双曲的な構造を持っているという点が力学系の観点から重要である。また同じアルゴリズムを応用することで、複素エノン写像のモノドロミー群の計算においても、これまでよりも高い位数のモノドロミー群の元の具体的な表示を計算することに成功した。
|
| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
まず最初の段階のアルゴリズムの開発と実装に成功したこと、さらにその応用として具体的な成果が得られたので、これらの面では予定通り、もしくは予定よりも順調に進行している。一方で情報エントロピーを理論的に力学系の研究に取り入れる研究の進展は予定よりも若干遅れ気味である。これらを総合的に判断して、進捗状況はおおむね順調といえる。
|
| Strategy for Future Research Activity |
研究計画に特に変更はなく、当初の方針通りに進める予定である。アルゴリズム開発の面では、簡潔データ構造に加えてエントロピー圧縮を用いた力学系の大域的計算アルゴリズムの開発と実装を進める。応用面では離散力学系だけでなく、流体力学のグラフ表現の効率化などを進める。また情報エントロピー理論の力学系への応用については、まずはエノン写像などの具体的な力学系における情報エントロピー・位相的エントロピーの計算例を数多く得ることで、力学系の不変量と情報エントロピーの関係の手掛かりを探す。
|
| Causes of Carryover |
出張の予定を学内用務との兼ね合いで変更するなどしたため、当初の予定よりも旅費が減額され、それにより次年度使用額が発生した。
|
| Expenditure Plan for Carryover Budget |
3 月に取りやめた海外出張を 4 月に実施し、それにより次年度使用額は使い切る予定である。
|
