2015 Fiscal Year Research-status Report
走性現象の数理モデルの高精度数値解法の開発とその数値解析
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15K04987
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| Research Institution | Yamagata University |
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Principal Investigator |
方 青 山形大学, 理学部, 教授 (10243544)
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| Project Period (FY) |
2015-04-01 – 2018-03-31
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| Keywords | 移流拡散方程式 / 爆発解 / 初期値境界値問題 / 局所非線形吸収型境界条件 / 有限差分スキーム |
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| Outline of Annual Research Achievements |
今年度は自発細胞両極性の現象を記述する空間１次元の半無限区間上の移流拡散方程式の爆発解の数値スキームを構成した。細胞を球対称の形から好適な軸を持つ状態にさせるプロセスが細胞両極性と呼ばれる。走化性現象においてある化学物質の勾配が細胞の移動方向を決めると同様に、細胞両極性は、ある外部の非対称合図によって制御される。細胞両極性に関する研究は近年活発に行われ、多くの反応拡散方程式で記述する数理モデルが提出されたが、ダイナミックスは完全にはまだわかっていない。フランスの研究者たちによって提出された半無限区間上の移流拡散方程式の爆発解の数値スキームを構成することで、解とモデルの挙動へ向けた重要な一歩を得ることに成功した。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
今年度は、半無限区間上の移流拡散方程式の初期値境界値問題を空間１次元の有界領域における初期値境界値問題で近似する成果を得た。具体的には、1次元Keller-Segel型モデルは半無限区間上の問題なので、その爆発解等の数値シミュレーションは極めてむずかしくて、有限空間上の境界値問題で近似する必要がある。移流拡散方程式にラプラス変換を施すことにより、局所非線形的な吸収型境界条件を得ることができた。この吸収型境界条件を用いて、有限空間上の境界値問題を導入することに成功した。しかも、境界値条件が時間に依存しないことで、時間変数に対する離散化がより容易に行われ、非線形常微分方程式のシステムを得ることができた。この非線形常微分方程式のシステムを数値的に解くことにより、爆発解の数値シミュレーションが可能となった。数値実験が行われ、有限空間の長さというパラメーターと境界値問題の境界条件の間に関係があることを明確化していることに成功した。
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| Strategy for Future Research Activity |
自発細胞両極性のKeller-Segel 型システムは空間１次元でも爆発解をもつことがフランスの研究者Calvez, Meunier and Voituriezc 等に示された。その爆発解の数値的なスキームを提出し、その数値解析の理論を立てることが本研究の目的である。初年度では、空間１次元の有界領域における初期値境界値問題で近似する成果を得た。その次に、最後の離散近似解の爆発性質をもとの爆発解の性質を反映させるために、非線形常微分方程式系をどのように数値的に解くかという問題を解決するために研究を展開していく。さらに、誤差評価を従来の収束解析方法で得られるかという問題も着手する考えとなる。本研究ではモデル問題に対応する空間非一様な分割を行い、その上でコンパクト有限差分スキームを構成することにより、空間変数に対して３次または４次以上の精度の近似解を得られるように期待できる。
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