2016 Fiscal Year Research-status Report
結晶表面におけるステップダイナミクスの数理解析・数値解析
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15K04996
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| Research Institution | Kanazawa University |
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Principal Investigator |
中村 健一 金沢大学, 数物科学系, 准教授 (40293120)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
矢崎 成俊 明治大学, 理工学部, 専任教授 (00323874)
中村 俊子 (荻原俊子) 城西大学, 理学部, 准教授 (70316678)
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| Project Period (FY) |
2015-04-01 – 2018-03-31
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| Keywords | 界面ダイナミクス / 進行波 / 移動境界問題 / 順序保存力学系 / 無条件安定性 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
結晶の表面において観察される，わずか数原子分の高さしかない段差（ステップ）の時間発展の様子，とりわけ平行なステップが階段状に並んだ微斜面と呼ばれる構造や，らせん転位と呼ばれる結晶表面のスパイラル状の模様の時空間パターン形成のメカニズムを解明することを目標として，反応拡散系による数理モデリング，関連する反応拡散方程式系およびその縮約として得られる界面方程式の数理解析・数値解析を研究分担者と協力して以下のように行った。
（１）空間1次元反応拡散方程式にステファン型の境界条件を課した自由境界問題に対する有限差分スキームを提案し，その性質を数学的に明らかにした。特に，非線形反応項の離散化を工夫することにより，数値解の計算領域における一様有界性および1階差分の自由境界における一様有界性を示すことにより，数値スキームの無条件安定性を証明した。さらに，通常の差分法の適用が困難な両端に自由境界条件を課した問題に対し，固定領域法とスペクトル選点法を併用した数値シミュレーションを行い，これまで知られていなかった解の形状および自由境界の挙動を明らかにした。
（２）平面内の界面運動，平面曲線の時間発展問題に対する数値解法として基本解近似解法に関する新しい不変スキームを提案し，その性質を調べた。また，負結晶(空像)の変形運動に対する数学解析と数値解析を行った。
（３）時間遅れの効果を持つ時間周期的な反応拡散系に対し順序保存力学系の視点から研究を行い，解の時間無限大での漸近挙動、時間周期解の存在および時間周期解全体の構造を明らかにした。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
結晶表面で観察されるステップダイナミクスに関連する移動境界問題，自由境界問題の数値計算手法の開発に関しては，基本解型数値解法の新しい不変スキームや非線形項の離散化を工夫することによる自由境界まで含めた無条件安定差分スキームなど，新たな発想に基づく他方面への応用・展開が期待される数値計算手法を提案し，その性質を数学的に厳密な手法で解析するとともに，実際の数値シミュレーションにおいて有用性を確認することができた。
数理解析については，時間遅れの効果を含む時間周期的な問題に対し，解の漸近挙動や時間周期解の存在およびその構造が順序保存力学系の視点から明らかになり，界面運動の問題への適用が期待される。
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| Strategy for Future Research Activity |
昨年度の研究成果を受けて，結晶表面のステップダイナミクスの数理解析に関しては，多安定型反応拡散方程式系モデルの解について，順序保存力学系の理論を応用することにより，今までよりも弱い仮定のもとにその漸近挙動を明らかにすることを目標とする。
数値解析に関しては，昨年度に引き続き，ステップの不安定化により生じるバンチング現象のメカニズムを数学的に理解するために，曲線の位相的性質が変化しても追跡可能な数値計算スキームの構築を目指す。
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| Causes of Carryover |
研究代表者および研究分担者2名のスケジュール調整がうまくいかず，グループの研究打ち合わせを行うことが困難であったため。
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| Expenditure Plan for Carryover Budget |
今年度は最終年度であるので，研究打ち合わせおよび研究発表の回数を当初の計画よりも増やすことを検討しており，そのための費用として計上する。
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