2017 Fiscal Year Research-status Report
結晶表面におけるステップダイナミクスの数理解析・数値解析
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15K04996
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| Research Institution | Kanazawa University |
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Principal Investigator |
中村 健一 金沢大学, 数物科学系, 准教授 (40293120)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
矢崎 成俊 明治大学, 理工学部, 専任教授 (00323874)
中村 俊子 (荻原俊子) 城西大学, 理学部, 准教授 (70316678)
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| Project Period (FY) |
2015-04-01 – 2019-03-31
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| Keywords | 界面ダイナミクス / 進行波 / 移動境界問題 / 順序保存力学系 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
結晶成長において観察される，結晶表面のわずか数原子層の高さしかない段差（ステップ）の時間発展ダイナミクス，および関連する反応拡散方程式系や自由境界問題・移動境界問題に現れる界面の複雑な時空間ダイナミクスの解明を目指し，研究分担者と協力して，数理解析・数値解析の両側面から以下のような研究を行った．
（１）2つの資源を巡って競争する3生物種の個体数密度の時間発展を記述する1次元格子上の拡散競争系に現れる進行波解について考察し，その空間形状が狭義単調であることをパラメータに関する一般的な仮定の下で証明するとともに，さらに進行波解がリヤプノフ安定であることを形状の狭義単調性と比較定理を利用して示すことに成功した．
（２）ランチェスターの2次法則モデルとよばれる常微分方程式系について，係数が時間に依存する場合の解の漸近挙動を詳細に調べることにより，初期値と解の存在時間および解の最終形状との関係を明らかにした．
（３）空像（負結晶）の時空間ダイナミクスを明らかにするために，面積保存型クリスタライン曲率流方程式を利用した数理モデリングを行うとともに，その数値計算方法を提案した．さらに，提案した反復法が計算回数を任意の有限回で止めても必ず面積が保存する性質を持つことを明らかにした．
（４）吸い込みと湧き出しを持つヘレ・ショウ流れにおいて，移動境界の不安定性が方程式に含まれるパラメータにどのように依存するかについて解析を行った．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
反応拡散系の界面ダイナミクスの解析には特徴的な解としての進行波解が重要な役割を果たすことがこれまでのさまざまな研究によって明らかとなっている．2つの資源を巡って競争する3生物種の個体数密度の時間発展を記述する1次元格子上の競争系においては，界面は各生物種が支配する生息域の境界であり，その挙動を明らかにすることは外来種の侵入・定着が可能であるかどうかを判定するために重要であるが，今年度の研究において進行波解の狭義単調性とそれを利用しての安定性を証明することができ，さらには漸近安定性の証明やより一般的な競争系への拡張も視野に入れた研究が可能となったという点で進展があったと考えている．
結晶成長に関連する移動境界問題の数値的研究については，水が氷結晶で囲まれた負結晶の時間発展を記述する数理モデルとして，面積保存型クリスタライン方程式を提案し，その数値計算スキームの構築・解析を行った．その結果，任意の反復回数に対して面積保存性が厳密に成り立つことを示すとともに，実際の数値計算を行い，その有用性を確認できた．この成果は今後のこの方面の研究発展に寄与することが期待されるものと考える．
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| Strategy for Future Research Activity |
結晶表面で観察される平行なステップの挙動の解析については，全域解の構成が鍵となると考えられるので，その方面の研究者と連絡をとりつつ研究を進めていく．1次元格子上における拡散競争系の界面ダイナミクスの解析については，2変数系，3変数系のときの解析・証明手法を精査し，より一般の多変数系に関する進行波解の単調性，一意性，（漸近）安定性の証明を順序保存力学系の一般論も利用しながら進めていく．
結晶成長に関連する自由境界問題・移動境界問題に対する数値的研究については，結晶界面のクリスタライン近似解法や基本解近似解法を主たる手法として，その近似性能や安定性などの数値解析的性質を明らかにするとともに，実際の数値シミュレーションに適用して有用性を確認していく．
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| Causes of Carryover |
本研究はこれまで概ね当初の研究計画通りに順調に推移してきたが，研究分担者の一人が病気治療のため今年度の8月以降3度の入院および長期の通院を余儀なくされ，研究成果をまとめて論文投稿するために予定していた数度の打ち合わせを行うことができなくなった．本研究の最終的な目標達成のためには，研究成果を取りまとめた学術論文投稿が必須であり，そのために補助事業期間を1年延長し，次年度の早い時期に研究代表者，研究分担者，研究協力者相互の打ち合わせを行い研究を遂行する．
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