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15K05002
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| Research Institution | Kyushu University |
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Principal Investigator |
田上 大助 九州大学, マス・フォア・インダストリ研究所, 准教授 (40315122)
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| Project Period (FY) |
2015-04-01 – 2019-03-31
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| Keywords | 一般化粒子法 / 補間作用素 / 近似微分作用素 / Poisson方程式 / 熱方程式 / 打ち切り誤差評価 / 誤差評価 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
粒子法は, 考える領域内に粒子と呼ばれる点を配置し, 粒子に対応した有界な台を持つ参照関数の1次結合によって対象となる問題を近似する. 粒子間の依存関係は, 粒子間の距離と参照関数の台を定める影響半径にのみ依存する. したがって有限差分法や有限要素法などの数値計算手法と異なり評価点の依存関係を定める格子や多面体分割を予め用意する必要がない, という特徴を持つ. この特徴から粒子法は, 流体領域が時間に依存して変化する問題に対する数値計算手法の一つとして盛んに用いられている.
一方でメッシュが不要であるという粒子法の特徴は, 離散化パラメーターの自由度が増大する欠点を生む. このため, 領域内に配置する粒子の数と粗密, 選択する参照関数の滑らかさや影響半径の大きさ, 参照関数の1次結合の係数に含まれる粒子体積の大きさなど, 離散化パラメーターの選択を適切に行う必要がある. しかし粒子法に対する数学の理論整備が進んでいない現状では, 離散化パラメーターの選択を経験則に頼っているだけでなく, そもそも数値解が元の偏微分方程式の厳密解に収束するかも未解明である.
そこで我々は, 粒子法の信頼性を数値解析学の観点から保証し, かつ現実的な問題への応用に耐えうる理論整備を目的としている.
我々は, 強形式で表された微分方程式を近似する粒子法として広く用いられている, SPH (Smoothed Particle Hydrodynamics) 法やMPS (Moving Particle Semi-implicit) 法などの粒子法を統一的に記述できる一般化粒子法を提案し, 一般化粒子法に対する誤差評価を導くために必要となる離散化パラメータに対する十分条件を導出した. さらにこの十分条件を元に, 補間作用素と近似微分作用素の打ち切り誤差評価やPoisson方程式と熱方程式の誤差評価を導いた.
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
1: Research has progressed more than it was originally planned.
Reason
本年度は計画に従い, Poisson方程式に対する粒子法の誤差評価から始めた.
最初に広く用いられているSPH法やMPS法などの粒子法を統一的に記述できる一般化粒子法を提案した. 次に誤差評価の鍵となる作用素の適合性と近似方程式の安定性を示した. 補間作用素, および近似微分作用素の適合性を導く際には, 離散化パラメーターを適切に選択するための指標が必要となる. まず, 粗密のない粒子の分布を表す良い粒子配置の指標として, 粒子分布の正則性を定義した. このとき配置した粒子を母点とする考える領域のVoronoi分割を基とした概念を導入したことで, 重み関数を定める影響半径と1次結合の係数を定める粒子体積の適切性を同時に規定することが可能な指標となっていることが特徴である. この指標を元にした十分条件を確立したことで, 補間作用素, 近似微分作用素の適合性を導いた. 近似方程式の安定性を導く際には, 粒子法が差分法の一般化に相当することに留意すれば, 方程式の離散化によって得られる近似方程式の最大値原理が鍵となる. このとき影響半径を基とする接続性の概念を導入したことで, 差分法の議論を拡張して近似方程式の一意可解性および最大値の原理を導くことに成功した. さらに適合性を示す際に用いた十分条件が影響半径の選択にも影響していることを利用して, 適切な離散化パラメーターの選択が為されていれば, 一意可解性や最大値原理のための十分条件が, 実際には十分小さい影響半径の選択のみに依存することも示した. これら鍵となる成果を基に, 差分法で用いられている議論を発展させることで, Poisson方程式に対する一般化粒子法の誤差評価を導いた.
また今年度は予定していなかった放物型方程式に対する誤差評価の出発点として, 粒子の移動を考慮しない熱方程式に対する誤差評価まで導くことが出来た.
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| Strategy for Future Research Activity |
偏微分方程式に対する粒子法の誤差評価において次に解決すべき課題は, 粒子法が考案された当初に必要とされた, 粒子をあたかも実際の流体粒子のように捉えて移動させた場合の数値計算手法に対する誤差評価である. その出発点として, 移流拡散方程式に対する一般化粒子法の誤差評価を行う.
まず最初に, 一般化粒子法が差分法の一般化に相当していることに留意して, 粒子配置が等間隔であった場合を取り上げる. この時, 例えば田端--野津らによって誤差評価が成功している, 特性曲線法を差分法に適用した際に得られる誤差評価, および評価に用いられている基礎理論を, 粒子の移動を考慮した移流拡散方程式に対する一般化粒子法の誤差評価へ拡張することを試みる.
次に, 得られた結果を粒子配置が不規則な場合へと拡張する. この際, 打ち切り誤差評価やPoisson方程式と熱方程式の誤差評価で鍵となった, 粒子配置の正則性の概念を用いれば, 粒子配置の不規則性に対応することが可能であると期待できる.
また研究計画に沿って既にその一部は実施しているが, 得られた数学的な理論に対応する数値計算を行なったり, 開発した計算手法をより現実的な問題へ適用する. これにより, 整備した数学理論が, 有用性も兼ね備えていることを実証していく.
さらに関連する国際会議等へ参加を予定している. これは, 得られた成果を公表して国際的な位置付けの把握に勤めるだけでなく, 粒子法を現実問題に適用している国際的に活躍する研究者らとの交流を図ることで, 得られた数学的な理論整備の実用性を把握し, 実用性を高めるための情報収集や研究討論を行うことも目的である.
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| Causes of Carryover |
検証によって得られる膨大な計算データ保存, 部品故障時の代替,および最新性能物品への更新等を考慮し, ハードディスク・メモリー等, 必要な計算機関連の周辺機器を随時整備するための費用を計上していたが, 今年度は故障等がなく不要となったため次年度使用額が生じた.
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| Expenditure Plan for Carryover Budget |
引き続き, 検証によって得られる膨大な計算データ保存, 部品故障時の代替, および最新性能物品への更新等を考慮し, ハードディスク・メモリー等, 必要な計算機関連の周辺機器を随時整備するための費用として利用する計画である.
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