2017 Fiscal Year Research-status Report
力学系の方法による葉序螺旋タイリングの分岐の研究とその周辺
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15K05011
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| Research Institution | Ryukoku University |
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Principal Investigator |
山岸 義和 龍谷大学, 理工学部, 准教授 (40247820)
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| Project Period (FY) |
2015-04-01 – 2019-03-31
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| Keywords | 螺旋格子 / 円板充填 / ボロノイタイリング / 連分数 / Farey 数列 / 距離関数 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
アルキメデス螺旋格子上のボロノイタイリングは、六角形(蜂の巣型)タイリングである結晶粒と呼ばれる領域と、それらの境界である結晶粒界と呼ばれる部分に分かれる。結晶粒界上のタイルの形状は長方形に近い。結晶粒上のタイルは3つの斜列係数をもち、結晶粒界において斜列係数が変化する。結晶粒界の組合せ的性質、および結晶粒界上のタイルの極限として得られる長方形の縦横比は、発散角の連分数展開によって定まる。これらの結果を、連続なパラメータ空間を考えることによって証明し、研究成果を論文として公開した。
回転対称性を加えた対数螺旋格子上の円板充填については、斜列係数を拡張した斜列指数を定義することにより、斜列とファレイ数列との自然な対応が得られることがわかった。対数螺旋格子に対して定義された斉次有界な距離関数は、回転対称性を加えた場合にも役立つ。粘着性円板充填については、円板斜列の連結成分の本数に着目することにより、詳しい分岐図が得られつつある。
正四面体の展開図は平面上の正三角形タイル張りを与え、平面上の直線は測地線を与える。これを利用して、一本の紙の輪を折り畳んで正四面体が得られることを示した。測地線の方向は可算無限個存在する。また、正四面体の展開図として得られる凸多角形の族を、切り込み線のグラフに着目して分類した。
正四面体の測地的距離によって定まる cut locus は、平面上のボロノイタイリングを与える。そのタイル張りの分岐について調べた。タイルの頂点は、距離関数の極大値を与える。この極大点から得られる正四面体上の離散力学系の極限点について調べた。
ルービックキューブにおいて操作を五面の回転に制限して解く問題を FULRD 問題と呼ぶ。最短手数の上限は、ケイリーグラフの直径(距離関数の最大値)に対応する。これについて、部分群の方法を利用して上からの評価を与えた。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
アルキメデス螺旋格子上のボロノイタイリングに関する研究成果を論文にまとめることができた。ボロノイタイリングの分岐の問題は、距離関数の極大値の変化を考えるということであり、cut locus の問題などに適用できる。このように、力学系の考え方を利用してタイリングの分岐を調べる研究は、多様な方面で成果を上げつつあるといえる。
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| Strategy for Future Research Activity |
まず、対数螺旋格子に回転対称性を加えた場合のポロノイタイリング及び円板充填の分岐についての研究成果を論文にまとめたい。粘着性円板充填については、斜列の連結成分の分離に着目して、Farey 木の近傍における詳しい分岐図を調べる。対数螺旋格子上のボロノイタイリングにおいて、分岐線上以外のパラメータにおけるボロノイタイリング(六角形タイリング)についてパラメータ空間の座標づけを考えたい。
展開図が平面上のタイル張りを与えるような等面四面体について、測地的距離による cut locus を考え、パラメータによるその分岐を調べる。
有限群のケイリーグラフの直径は、生成元の調び方に依存する。とくに簡単な場合として、巡回群で二元生成の場合の直径の最小値を評価したい。
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| Causes of Carryover |
(理由) 2017年度は海外出張を控えて論文執筆に時間を割当てることが多かったため、次年度使用額が生じることとなった。
(使用計画) 2018年度は海外研究者の招聘を計画している。また、計算機関連の予算の使用を計画している。
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