2015 Fiscal Year Research-status Report
無限次元非線形数理モデルに対する高精度数値的検証理論の構築
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15K05012
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| Research Institution | Sasebo National College of Technology |
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Principal Investigator |
中尾 充宏 佐世保工業高等専門学校, その他部局等, 校長 (10136418)
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| Project Period (FY) |
2015-04-01 – 2018-03-31
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| Keywords | 数値的検証法 / 精度保証付き数値計算法 / 解の事後誤差評価 / 構成的高精度事前誤差評価 / 計算機援用証明 / 非線形楕円型方程式 / 非線形発展方程式 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
数値的検証法 (以下、「精度保証付き数値計算法」と同義)とは、問題に対する解の存在と誤差限界を数学的に保証するような数値計算法のことであり、計算機を使った数値的証明をも意味している。本研究では、研究代表者がこれまでに開発してきた楕円型方程式を中心とした数値的検証法の原理を、放物型方程式を含めてさらに広範な無限次元の非線形数理モデルにまで拡張することを目的としている。具体的には、定常および発展問題に対しさらに格段に高精度な解の検証原理を構築し、それらを、実際の非線形数理モデルの検証に適用することによって、その有効性を実証することを目ざす。このためには、代表者らが開発してきた検証法の基本原理である、構成的事前誤差評価の議論をさらに高精度な評価に拡張・改良することが求められる。その対象は、楕円型ではPoisson、放物型では単純な線形熱方程式であり、これらの解の有限次元部分空間へのprojectionに対する誤差評価が本質的となる。本年度はこれらに関する新たな高精度誤差評価方式を見出し、次年度以降の研究推進の基盤を構築することができた。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
これまでの構成的誤差評価では、例えば有限要素法を用いた場合、メッシュサイズをhとしたとき、H-1誤差評価ではオーダーh、L-2誤差評価ではオーダーhの2乗が限界であった。これは解の正則性による制約によるもので、それが最良オーダーであるが、本検討では解の滑らかさを実用性を失うことなく、より高位に設定できる場合について、楕円型、放物型のいずれについてもそれぞれ従来よりhigher-orderで評価できることを示した。これは次年度以降の研究の基礎となるものであり、本研究の主要目的の達成とって十分有意な結果であり、研究は順調に進展しているといえる。
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| Strategy for Future Research Activity |
今後は、27年度に得られた高精度の構成的誤差評価を、具体的な問題に適用し、実用上有意な精度保証(数値的検証)結果が得られることを示し、その効果を実証する必要がある。このために、具体的な非線形問題に対して、新しい誤差評価を適用し、数値例によって確認することを目ざす。この場合、楕円型にあっては、初期残差の改良が予想されており、放物型では、計算機援用による更なる高精度評価と、半離散スキームの効率良い計算法の導出を期待している。これらの検討は、これまでも精度保証付き数値計算法に多くの実績を有し、連携研究者でもある九州大学の渡部善隆准教授、京都大学の木下武彦特定講師、佐賀大学の木村拓馬准教授、および研究協力者として佐賀大学の皆本晃弥教授にも支援を依頼し、新たな研究体制で一層の研究推進を図る予定である。すなわち、今後はこれらの周辺研究者と連携して、検証理論の構築とその有効性を実証する数値実験を行い、新たに大きなインパクトを与える研究成果を目ざす。
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| Causes of Carryover |
既存のPCが使用可能であり、PCの新規購入を延期したため。
謝金の必要な資料収集・整理の用務が不要となったため。
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| Expenditure Plan for Carryover Budget |
28年度分助成金に加えて、ノートPCと、書籍の購入費に充当する予定。
また、28年度に旅費の不足が生じる場合には、その補充のために当てる。
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