2015 Fiscal Year Research-status Report
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15K05203
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| Research Institution | Tokyo Institute of Technology |
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Principal Investigator |
笹本 智弘 東京工業大学, 理工学研究科(理学系), 准教授 (70332640)
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| Project Period (FY) |
2015-04-01 – 2019-03-31
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| Keywords | 非平衡統計力学 / 揺らぎ / 厳密解 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
O'Connell-Yorモデルと呼ばれる有限温度での方向性のあるポリマーの問題を考察し、分配関数の母関数に関して、ランダム行列理論と類似の行列式構造が存在することを見出した。これまでの研究において、ゼロ温度においてはランダム行列的な構造が存在することが知られていたが、有限温度の場合はこれまでマクドナルド多項式を用いるなどより複雑な手法のみ適用されており、今回の発見で解析がより容易となる。例えば、今回の行列式構造が得られると、母関数がフレドホルム行列式で書けることや、さらにその積分核が直交する関数の積の和の形にかけることがすぐにわかり、各々の関数の漸近解析を行うことにより、系の普遍的な性質を議論する事ができる。導出は、ゲルファントーツェトリンに類似するより自由度の大きな系を導入することにより行った。現在同様な議論や手法をより一般の系に適用すべく研究を行っている。
またSU(1,1)を変形した量子群に関係する模型の構成を行った。適当な極限を取ることで、KMPモデルと呼ばれる確率的熱輸送の模型の非対称版が含まれていることを見出した。KMPモデルは、双対性などを用いてかなり詳しく解析の出来るモデルであることが知られている。今回構成した非対称版も、その構成法から双対性を持つ事がわかるので、それらを用いて性質を調べて行く事が可能であると期待される。
他にも、対称排他過程における粒子の拡散の大偏差を決定することや、２成分排他過程の揺らぎの問題等についての検討も進めている。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
当初の課題であったO'Connell-Yorポリマーと呼ばれる有限温度ポリマーの問題に対して、その行列式構造の理解を深め論文発表にまで至ったのは、順調に研究が進展した点といえる。最初はポリマーの分配関数の母関数にランダム行列理論と同様の行列式表示が存在する事に気づいたことから出発した研究であったが、その後Gelfand-Tsetlinパターン上のダイナミクスを用いると見通し良く導出できることがわかったり、ゼロ温度において反射的な相互作用を持つブラウン運動粒子系の有限温度版を新たに得る事が出来るなど、いくつかの成果が得られた。また、これらの解析で重要な役割を果たしている双対性を適用することにより、KMPモデルとしてよく知られた熱伝導模型の非対称版を構成し、その性質をいくつか議論するという成果も得られた。
一方で、有限温度ポリマーの行列式構造に関する議論をより一般のモデルに適用する試みには、いくつかの困難が現れ、現在その解決に向け研究を進めている状況である。これまでのところ、少し別の議論を用いることにより、より一般の有限温度ポリマーや関連する多粒子確率過程モデルに関する母関数に対する新しい表式を得ることに成功した。現在その表式を用いてどのようなことがさらに可能となるか検討している段階である。
これらの問題に対する理解を深めるという目的もあり、対称排他過程や多成分系の揺らぎに関する研究も同時に進めている状況である。
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| Strategy for Future Research Activity |
基本的な方向性は当初の計画と変わらず、引き続きKPZ系の解析手法を開発し、それを様々な系に適用してゆく。平成２８年度は、まず有限温度ポリマーに対する行列式を用いた方法を一般化し、qボソンゼロレンジ過程とよばれる模型を解析する。現時点で、ステップ型と呼ばれる初期条件の場合に対しては新しい表式を得る事に成功しているが、より一般の初期条件へ適用することを目指す。その際一見して発散級数が現れるというレプリカ法の問題があるが、複素積分を用いて解決できないか検討する。初期条件としては、まずは定常的な初期条件の解析を行う。これまでにKPZ方程式に対する厳密な結果も得られているが、かなり特殊な議論を用いており、汎用性が低い。qボソンゼロレンジ過程の定常状態に関する理解を深める事により、より一般性のある取り扱い手法を確立したい。それが可能となれば続いて平坦初期条件における解析を目指す。
非対称排他過程(ASEP)に対する考察も進める。qボソンゼロレンジ過程の場合と違いマクドナルド過程との関連が無いためさらなる考察を要する。特殊な場合として別の興味もある対称排他過程の場合にはいくつか簡単化が起こる事が分かってきたので、まずはこの場合の計算を進める予定である。また多成分系に対しては、漸近解析まで可能となるような場合は知られていないが、ある２成分排他過程の特殊なパラメータにおいて特に性質が良くなることを見出したので、その構造に関する理解を深めてゆく。
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| Causes of Carryover |
平成２７年度において、当初支出を計画していた外国旅費の一部が先方負担によって賄うことが可能となり、研究計画を遅らせること無く必要経費を減らす事が可能となったため。
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| Expenditure Plan for Carryover Budget |
平成２８年度は、フランスで開催される国際会議に参加して発表を行う予定があり、また研究打ち合わせのため、アメリカ（ボストン、サンタバーバラ）に２度出張する計画がある。これらの外国旅費として使用する予定である。
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Research Products
(14 results)
