2015 Fiscal Year Research-status Report
可積分量子多体系の様々な非平衡ダイナミクス：量子クエンチと動的な近藤問題の厳密解
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15K05204
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| Research Institution | Ochanomizu University |
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Principal Investigator |
出口 哲生 お茶の水女子大学, 基幹研究院, 教授 (70227544)
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| Project Period (FY) |
2015-04-01 – 2018-03-31
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| Keywords | 可積分量子系 / 量子クエンチ / 孤立量子系 / 量子ハイゼンベルグ鎖 / 局所磁化 / 時間発展 / 緩和 / 非平衡系 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
最近、孤立量子系の時間発展が冷却原子系の実験で調べられ、様々な興味深い振る舞いが観測された。孤立量子系の時間発展で状態は変化せず、状態それ自体は緩和しない。しかし、物理量演算子に着目すると、その状態期待値は次第に平衡値へ近づく。一般の孤立量子系では、物理量期待値は小正準分布の熱平衡値へ漸近し（熱化）、可積分系では一般化ギブス分布での平均値へ漸近する（平衡化）と予想される。
本研究では、スカラー積公式など代数的ベーテ仮設の方法を用いて物理量期待値の時間発展を厳密に求め、一般化ギブス分布への緩和過程など可積分系の非平衡ダイナミクスの特徴を明らかにする。最初に、代表的な可積分量子スピン系である量子ＸＸＸ鎖（１次元量子ハイゼンベルク模型）に対して、スピノン状態など、ベーテ仮設方程式の実数解に対応するベーテ固有状態を重ね合わせて実現される量子状態に対して、各格子点上の局所磁化の任意時刻での期待値を数値的に厳密に求め、孤立量子系としての量子ＸＸＸ鎖の時間発展、特に局所磁化の平衡化（緩和）の様子を調べた。局所磁化は時間変数のべき関数的に減衰し、その指数はスピノン状態のスペクトル幅に依存することが分かった。
また、物理的応用の実例として近藤模型など量子不純物の可解模型の時間発展を調べる準備として、不純物スピンの格子点を持つスピン１/2量子ＸＸＺ鎖の厳密解を研究し、不純物とバルクとの相互作用の有限温度の振る舞いを、厳密解の熱力学的ベーテ仮説の方法を用いて解析した。そして、近藤効果が出現する低温領域へのクロスオーバー温度を表す解析的な表式が導かれた。
さらに、量子ＸＸＸ鎖の下向きスピン２個のセクターにおいて任意の格子長の場合に、べーテ仮設方程式の解に対応するベーテ量子数を全て厳密に導いた。べーテ固有状態の完全性の証明だけでなく、数値計算の面でも重要な結果である。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
平成２７年度には、いくつか予想外の進展が見られた。
量子ＸＸＺ鎖の局所物理量に対する形状因子の行列式表示の導出に関しては、予定されていた通り研究が進み、局所磁化に関しては、熱力学的極限でフレッドホルム行列式にまとめられる計算を遂行できた。この点は研究計画通りである。
孤立した可積分量子系において、物理量期待値の一般化ギブス分布への平衡化や緩和の時間発展を、局所磁化すなわち各格子点上の磁化の期待値に注目して調べた。量子状態の時間相関（フィデリティー）の場合と比べると、局所磁化の緩和は非常に遅く、時間のべき的な減衰で平衡値に近づく振る舞いが見られた。指数関数的ではなく非常にゆっくりとした減衰である。これは従来予想されなかった振る舞いであり、量子ＸＸＸ鎖という本質的な多体相互作用の量子系を特徴付ける可能性が高い。ただし他の物理量では時間発展、特に平衡化や緩和をまだ調べていない。この点は今後の課題である。すなわち、物理量期待値の一般化ギブス分布への平衡化に関しては、局所磁化のべき的減衰という予想外の進展がある一方、一般の物理量には課題として残されている。
また、近藤模型など不純物可積分模型に関する研究は、当初は２８年度以降に実施の予定であったが、一部分は２７年度中に導かれた。不純物格子点を持つスピン1/2量子ＸＸＺ鎖は可積分であり、その有限温度の振る舞いは熱力学的べーテ仮説によって厳密解を用いて解析され、近藤効果が出現するクロスオーバー温度を解析的に表す式が導かれた。この点は研究計画当初の予定よりもかなり早く研究が進展した。
さらに、量子ＸＸＸ鎖の下向きスピン２個のセクターにおいて任意の格子長の場合に、べーテ仮設方程式の解に対応するベーテ量子数の全てを数学的に厳密に導いた。べーテ固有状態の完全性の証明だけでなく、数値計算の面でも重要な結果である。当初計画になかった新しい発展である。
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| Strategy for Future Research Activity |
孤立した可積分量子系における非平衡緩和ダイナミクスの特徴を明らかにするため、量子ＸＸＸ鎖および量子ＸＸＺ鎖において、局所磁化以外の物理量の時間発展を求めて一般化ギブス分布への平衡化の振る舞いを調べる問題は、一般の物理量に関しては、かなり難しい課題であることが判明しつつある。このため、昇降演算子の行列要素など、求めやすい物理量の時間発展を次の課題として計算することが考えられる。他は研究計画当初の予定通り、以下のような課題に順番に取り組んでいく。
（１）近藤模型の不純物スピンの形状因子公式の導出：近藤模型はべーテ仮設の方法を用いて固有状態がすべて導かれると考えられる。この模型の固有関数には電荷とスピンの自由度が存在し、１次元量子ハイゼンベルグ模型（量子ＸＸＸ鎖）とは異なる。しかし、電荷とスピンの自由度はほぼ完全に分離するため、不純物サイトを持つスピン1/2量子ＸＸＸ鎖の研究結果を拡張することが可能であると予想される。
（２）量子ＸＸＺ鎖における局所クエンチの解析：べーテ仮説方程式の実数解から導かれるスピノン状態だけでなく、複素数解（ストリング解）を含む一般のべーテ固有状態を用いて様々な初期量子状態を構築し、ＸＸＺ鎖の物理量期待値の時間発展を追跡する。
（３）１次元ボース気体の厳密解における緩和ダイナミクスの特徴の解明。１ホール励起状態の重ね合わせで与えられるダークソリトン的な量子状態に関して、その状態の時間相関（フィデリティー）は長時間でべき的に減衰した。他の量子状態に関しても緩和過程を調べ、べき的な減衰の有無を調べる。
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| Causes of Carryover |
デルタ関数型相互作用をもつ１次元ボース粒子系において、１ホール状態を同じ重みで重ね合わせて量子状態を構築すると、弱結合の場合に、ダークソリトンと全く重なるような形状の密度プロファイルを持つ量子ソリトン状態ともいうべき状態が実現する。ある学術雑誌からこの結果を報告するレビュー論文を招待され、昨年度中に投稿したが、現在まだ査読中である。この雑誌ではオープンアクセスの場合のみ掲載され、掲載の際には２０万円以上の料金が発生する。これに備えるために予算を用意しておいたが、昨年度中に査読が終わらなかったため、結果的に今年度まで予算が残った。
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| Expenditure Plan for Carryover Budget |
今年度、同誌に掲載が決定する場合には、残しておいた予算をオープンアクセスの料金に当てる見込みである。同誌に掲載を許可されない場合には、他の学術鎖雑誌に投稿し、オープンアクセスにするための予算とする。
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