2015 Fiscal Year Research-status Report
作用素論に基づく連続時間系・サンプル値系の制御性能解析に関する新展開と周辺研究
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15K06138
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| Research Institution | Kyoto University |
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Principal Investigator |
萩原 朋道 京都大学, 工学(系)研究科(研究院), 教授 (70189463)
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| Project Period (FY) |
2015-04-01 – 2018-03-31
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| Keywords | 制御系の性能解析 / 関数空間L∞ / 高速リフティング / 入力近似 / 核関数近似 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本研究では，サンプル値制御系の解析・設計に関する研究においてこれまでに発展させてきた作用素論的手法，とくに高速リフティング手法に基づくアプローチについて，これまで主として扱ってきたシステムならびに信号に関するクラスをそれぞれ拡張し，これまでの研究においては扱うことの難しかった制御性能解析問題をカバーする新展開に取り組み，性能評価のための有用かつ効率的な方法を確立することを目標としている．
平成28年度の取り組みでは，振幅の瞬時的最大値を考えることに相当する関数空間L∞での扱いを要する課題に取り組み，まず，連続時間系において入出力ともにこの関数空間をとった場合のシステムの最悪ゲインの解析に関して，従来の結果を拡張する成果を得た．同種の問題は，より一般的なシステムであるサンプル値系についてもすでに検討しており，入力近似ならびに核関数近似のもとで成果を得ているが，対象を連続時間系に限定した特殊ケースでは，サンプル値系の場合よりも高次の関数を用いた高速リフティング手法のもとでの近似が可能となる．そのような高次近似が，従来手法である0次および1次関数を用いた高速リフティングのもとでの区分的近似より，精度ならびに計算時間の両面からより効果的であることが確認できた．
このような解析は，外乱の瞬時値に上限が存在するという現実的な状況下で，制御系の平衡点からのずれの瞬時的な最大値を特定の値より小さく留めなければ，接触や衝突という大きな問題が生じるような制御系を対象として，制御性能を詳細に検討する上で極めて有意義な成果といえる．
その他，次年度以降を見据えた研究の基礎部分についても順調な進捗を得た．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
研究実績の概要として述べた通り，連続時間系に対するL∞誘導ノルム解析に関しては，より一般的なサンプル値系を対象としたこれまでの議論を一旦離れ，連続時間系に特化した議論を発展させることで，従来結果の拡張に至っており，これは予定通りの十分な成果であるといえる．
ただし，これは有限次元の連続時間系のみを対象とするものであり，むだ時間を含むような無限次元の連続時間系については考慮していない．そのような連続時間系について，概要部では触れていないが，安定解析に関する極めて基礎的な重要な結果を別途得ている．これは，上記の問題に関連した関数空間であるL∞のみならず，瞬間振幅というよりもエネルギーに上限値が存在するといった状況の扱いにおいて重要な関数空間であるL2を含めて，異なる4種類の関数空間を比較する形で並行的に扱いつつ論じたものであり，むだ時間を含む制御系の安定性が，関数空間の違いのもとで互いにどのような関係にあるかを明らかにしたものである．より具体的には，安定性の概念が，基本的に関数空間の違いにはよらないことを数学的に明確に明らかにしたものであり，むだ時間制御系のもつ本質的性質を明らかにする上でも，本研究課題がまさしく目指すものである，作用素論的手法に基づく議論展開が強力であることを指し示すものに他ならない．このような意義深い成果が得られていることも，ここまでの進捗状況が十分であることを明らかに示すものであるといえる．
加えて，次年度以降に展開する予定である問題として，関数空間L2から関数空間L∞でみた誘導ノルムないしはハンケルノルムに関する問題をサンプル値系において論じる上で，基礎となる成果を挙げつつあり，総合的に見て順調な進捗であるといえる．
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| Strategy for Future Research Activity |
入力および出力の関数空間をいずれもL∞として考える制御問題については，想定する議論が概ね揃いつつあり，今後の議論は，入力の関数空間をL2とした制御問題が中心となる予定である．出力に関しては，上でも触れたハンケルノルムの問題の場合を中心として，同様に関数空間L2をとることが重要な課題もあり，それらについても並行的に取り組む予定であるが，中心的な問題は出力の関数空間が引き続きL∞である場合として議論を含めていく予定である．
入力の関数空間がL2で，出力の関数空間がL∞である場合の誘導ノルムに関しては，その解析についてはやはり高速リフティングが有効であることが明らかになりつつある．それは，高速リフティングを通して導入される近似的な解析手法のもとでの誤差に関する評価を通して可能となるものであるが，高速リフティングのパラメータを通してその誤差は任意に小さくすることができるものの，誤差自体は制御器に依存する評価となっていることは，必ずしも望ましいものではない．このことが，与えられた制御器のもとでの制御系の性能解析ではなく，性能を向上させる制御器自体を設計する問題に取り組む上で，理論的妥当性を与えることを難しくするからである．この点を回避するための考察を進めることは重要で，これまでに扱った他の課題におけるアプローチを適切に適応させつつ適用することが可能ではないかと考えている．さらに，誘導ノルムのみならず，ハンケルノルムを対象とした議論も進める予定である．
そのようなアプローチは，サンプル値制御系の設計問題を，近似的に離散時間系の設計問題に帰着させると考えられることから，必ずしも作用素論そのものを要するものではないが，研究全体の完成度の観点から，離散時間系のある特殊な制御問題に対して，行列不等式に基づく解法の研究も進めたいと考えている．
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