2016 Fiscal Year Research-status Report
応用確率過程解析における「ホインの微分方程式の方法」の開拓
| Project/Area Number |
15K11993
|
|---|
| Research Institution | University of Tsukuba |
|---|
Principal Investigator |
金野 秀敏 筑波大学, システム情報系(名誉教授), 名誉教授 (20134207)
|
|---|
| Project Period (FY) |
2015-04-01 – 2018-03-31
|
| Keywords | 応用確率過程解析 / ホインの微分方程式 / 非平衡系の生成・死滅過程 / 非線形確率過程 / 長期記憶効果 / マスター方程式 / フォッカー・プランク方程式 |
|---|
| Outline of Annual Research Achievements |
当該年度の計画では（１）生成率及び死滅率が特異点数の1次関数になっている場合のマスター方程式による解析方法の展開。（２）生成率及び死滅率が特異点数の２次関数になっている場合のフォッカー・プランク(FP)方程式による解析方法の展開。（３）3次の非線形項を有する系の解析理論の展開。（４）記憶効果の導入の可否の検討。（５）解の積分表示の検討。（６）FP方程式の固有値問題計算法の検討、等であった。
（１）の解析法はほぼ達成でき、成果は数理解析研究所、J.Phys. Soc. Jpn. 86巻（2017）で報告した。応用例として位相特異点の生成死滅過程ばかりでなく、Optical Rouge波の発生のモデル化に使えることも示した。（２）２重合流型ホインの微分方程式(HeunD 方程式)を用いた解析方法に帰着可能であることを示し、統数研のレポートに報告した。投稿論文準備中である。（３）3次の非線形項を有する場合、合流型ホインの微分方程式(HeunC 方程式)を用いた固有値問題に帰着できる。この結果は、国士舘大の紀要に報告し、熊本大理学部でも口頭発表した。（４）記憶効果はマスター方程式でも、FP方程式でも導入可能である。（５）解の積分表示はマスター方程式の場は求められたが、FP方程式の場合には級数展開の解のみが求められている。（６）FP方程式の場合、ホインの微分方程式のアクセサリー・パラメーターは固有値に一致し、数値計算で決定可能である。（４、５、６）の結果は数理解析研（京都）、統計数理研（立川）、及び、アクセサリー・パタメーター研究会（熊本）で報告した。また、空間的に大局結合のある神経興奮要素の２次元練成系をPragmatic Information (PI)の確率過程を用いて解析する新しい複雑系の情報抽出法を提案し、MMCTSE2017 (イギリス) の国際会議で報告した。
|
| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
これまでの研究により、１変数の場合の応用確率過程解析に現れるホインの微分方程式は、基礎方程式であるマスター方程式及びフォッカー・プランク方程式が線形微分方程式であることによる特殊性から、その類型が非線形力学系の場合の類型に比べてかなり限定的であることが明確になった。（１）マスター方程式を用いた確率過程解析の場合、線形の生成率・死滅率を有する場合には１変数の場合、合流型ホインの微分方程式(HeunC)を使った方法論が、ぼぼ、完成の域に達している（出版済の論文）。HeunG微分方程式に帰着できるより一般的な場合の方法論の展開もHeunCの場合の延長線上にあるので、具体的な応用例をつけた上で公表する予定である。（２）フォッカー・プランク方程式を用いた確率過程解析の場合、生成率・死滅率が2次までの非線形関数の場合相乗性雑音が重要となり、２重合流型ホイン微分方程式(HeunD)となることが明確になっている。3次の非線形関数を含むシステムの場合などでは合流型ホイン微分方程式(HeunC)となること、さらに、臨界揺らぎなどが重要になる系では双合流型ホイン微分方程式(HeunB)になる等、数理構造が明らかになってきた。特に、（２）のFP解析の場合にはアクセサリパラメータが固有値に一致する特殊性から、アクセサリパラメータの決定問題は「固有値の正確な決定方法」により解消されることが確認できた。応用上重要なHeunC, HeunDの方法を中心に位相特異点のダイナミクスが重要な熱対流系、心筋梗塞、光学Rogue 波発生などへの適用可能性を検討してきたが、さらに新しいシステムへの適用可能性を検証してゆく。
|
| Strategy for Future Research Activity |
進捗状況にも述べたように、確率過程解析の場合、基礎支配方程式はマスター方程式、あるいはフォッカー・プランク(FP)方程式である。非線形力学系の発展方程式とは異なり、確率の発展方程式は線形であり、一般に、非線形相互作用が存在しても複素領域での線形微分方程式を解く問題に帰着できる。確率母関数の従う微分方程式やFP方程式が複素領域においてホインの微分方程式に従い、さらに、アクセサリーパラメーター(AP)がゼロとなることが積分表示が可能となることも明らかになってきた。
マスター方程式の母関数がホインの微分方程式に従い、母関数がの積分表示が可能なのは生成・死滅率が粒子数の1次関数になっている２つの類型（合流型ホイン方程式(HeunC)及びホイン方程式(HeunG)）であると推定される。非線形相互作用を含んだ系も解析可能な応用上重要なFP方程式の場合、雑音項が相乗性雑音に帰着できる場合に２次や3次の非線形項を有する場合ホインの微分方程式の２重合流型（HeunD）、合流型(HeunC)、双合流型(HeunB)の方程式等が現れる。FP方程式の場合の特殊性として、いずれも、APは固有値に一致し、固有値を正確に決めることができれば解が得られる。そこで、今後は固有値問題の解法を重点的に実施する予定である。
一般には、固有値は解析的には与えられないが、数値計算で固有値が正確に決定できればAPの決定問題は解消する。重要な点は、フラクショナル微分を用いて記憶効果を導入することができるので、長期記憶のある非線形システムの解析もレビー変換を用いて実行可能となる。 解くべき重要なFP方程式のクラスが明確になってきたので、級数解を中心に、簡便な解析法を開拓するとともに、現実のシステムでの適用例を増し、新しいホインの微分方程式の方法を発展させてゆく。
|
