2015 Fiscal Year Research-status Report
幾何的背景を持つ数論的局所系と数論幾何の未解決問題の実験的考察
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15K13422
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| Research Institution | Tohoku University |
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Principal Investigator |
都築 暢夫 東北大学, 理学(系)研究科(研究院), 教授 (10253048)
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| Project Period (FY) |
2015-04-01 – 2018-03-31
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| Keywords | Calabi-Yau多様体族 / 高次超幾何関数 / 半安定族 / 剛性Calabi-Yau多様体 / 保型性 / Beilinson-Tate予想 / 代数的サイクル |
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| Outline of Annual Research Achievements |
指数が1/2,...,1/2;1,...1のn次超幾何関数を周期積分に持つ射影直線上の数論的n次元Calabi-Yau多様体族X_nを構成した。この多様体族は、射影直線の0, 1, ∞で退化する。26年度までの研究で、0での退化を利用して一般ファイバーに対するBetti, de Rham, エタール, p進の各実現に対する相対コホモロジーを決定し、コホモロジー類がn次超幾何局所系と代数的サイクルにより生成されるなどの成果をえていた。
この研究の目的は、今までに構成したCalabi-Yau多様体族X_nに対して、数論における未解決問題を具体的に検証して、これらの予想の本質的な解決にむけた一歩を踏み出すことである。高次元の多様体で非自明かつ計算可能な多様体や多様体族は多くは知られていない。ここでの実験的考察は、様々な予想の理解につながる。
27年度の研究では、3次元の場合のこの多様体族の特異ファイバーの半安定的なモデルを具体的に構成して、そこに現れる有理数体上の剛性Calabi-Yau多様体の保型性とその上の代数的サイクルに関する結果を得た。保型性に関しては、保型多様体との代数対応を構成することで、得られた剛性Calabi-Yau多様体の中間次元のモチーフに対応するL関数が重さ4・レベル16の保型形式のL関数になることを得た。さらに、この剛性Calabi-Yau多様体族上の代数的サイクルを具体的に構成して、高次chern類写像の全射性(Beilinson-Tate予想)を確かめた。また、対応するL関数のs=2で零点を持たない事実に関して、代数的サイクルに関する予想と矛盾しないことを確認した。
これらの結果は、研究集会「レギュレーター in ニセコ 2015」およびパリ第7大学(フランス)における整数論セミナーで発表した。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
この研究では、数論的多様体上に幾何的な背景を持つ局所系を具体的に構成して、周期、Galois表現の保型性、代数的サイクル、高次Chow群やL関数などに関する数論幾何学、代数幾何学や数理物理学における未解決問題を実験的に考察することを目的としている。特に、これまでの研究で代表者が構成した数論的一般超幾何Calabi-Yau多様体族に伴う数論的局所系を多方面から考察し、問題の本質の理解を深め、解決への糸口を見つけることを目標としている。
27年度の研究では、数論的一般超幾何Calabi-Yau多様体の1における退化ファイバーの半安定モデルの考察を行い、特に3次元の場合に具体的な保型形式の対応を込めて保型性を証明した。これは、斎藤-由井による有理数体上の3次元剛性Calabi-Yau多様体の保型性予想(現在はSerre予想から導かれる定理)の例ではあり、保型多様体との代数対応を具体的に与えることで得られたもので有る。また、3次元剛性Calabi-Yau多様体上の代数的サイクルを具体的に構成して、この場合の高次chern類写像の全射性(Beilinson-Tate予想)を確かめることが出来、さらにL関数の値の非自明性との関係に関する予想と整合的であることが確認できた。これらの結果は、当初予定していた成果であり、当研究の進捗状況は順調と言える。
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| Strategy for Future Research Activity |
今年度の研究では、数論的一般超幾何Calabi-Yau多様体に関して、高次元の保型性の問題を中心に考察する。特に、5次元以上の奇数次元における1での特異ファイバーの半安定モデルの具体的な保型性に関して論じる。また、周期や中間Jacobi多様体を3次元の場合を含めて具体的に考察する。この場合に現れる3次元剛性多様体は虚数乗法を持たないので、Grothendieckの予想を仮定すると本質的に新しい周期が現れることになる。現在のところ非常に困難な問題ではあり、新たなアプローチを模索する。
高次元の数論的多様体の構成は容易でなく、考察可能な興味ある例は多くは知られていない。退化などを利用して付随する局所系の性質を明らかにすることは、具体的な構成のもとで可能になる。実験的な考察を通して、数論幾何学の重要な問題への道が開けると考えている。
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| Causes of Carryover |
研究代表者はパドバ大学(イタリア)にてBaldassarri教授ら関連する研究者との最新の成果に関する研究連絡を予定していたが、学内業務多忙のために先方との日程調整が不調に終わり、次年度以降の渡航とすることにした。
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| Expenditure Plan for Carryover Budget |
経費は主に、代表者と連携研究者の研究打ち合わせおよび成果発表と、関連する研究者の招へい旅費として使用する。特に、代表者はパドバ大学(イタリア)への成果発表の渡航を計画していている。また、この科研費で一部サポートする研究集会の開催の準備を進めている。
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