2016 Fiscal Year Research-status Report
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15K13423
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| Research Institution | Tohoku University |
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Principal Investigator |
石田 正典 東北大学, 理学研究科, 教授 (30124548)
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| Project Period (FY) |
2015-04-01 – 2018-03-31
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| Keywords | 代数多様体 / 可換環 / トーリック多様体 / コクセター群 / 特異点 / 凸多面体 / カスプ特異点 / 鏡映群 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
トーリック多様体は実空間の有理的な凸錐体の集まりである扇により記述できる正規代数多様体である．しかし，それを離散群の作用で割ってできる多様体やそれから得られるカスプ特異点を記述するには扇では不十分であり，その概念の拡張が必要である．それを実行するため，代表者が以前カスプ特異点のゼータ零値の有理性を示すために導入した「T 複体」の概念を拡張して形式扇の理論の構築を行っている．代数多様体の理論の基礎付けであるグロタンディークのスキーム理論に形式スキームが定義されているように，トーリック多様体を記述する扇を一般化して形式扇を導入して理論を整備し，カスプ特異点などの研究に役立てるのが研究目標である．形式扇の定義は自然に形式スキームあるいはスタックが対応するよう慎重に行っている.
昨年，土橋氏に 4 次元の正 24 面体の幾何学を用いて新しく構成された 4 次元トーリック型カスプ特異点は，その非特異化における例外因子が 4 つの 3 次元非特異トーリック多様体からなり，これらが互いに単純正規交叉するというめずらしいものである．このカスプ特異点はある 4 つの頂点からなる図式から得られる無限コクセター群の指数 48 の部分群により構成されるが，本研究で，この部分群を詳しく記述することにより，4 つのトーリック多様体が 48 個ある通常 4 重点でどのように交わっているかを具体的に記述することができた．
トーリック型カスプ特異点を形式扇による記述と計算機プログラム化を考えているが，モデルとなるカスプ特異点のよい実例が得られ，これを計算機を用いて解析する手法が開発できた．これをさらに実用的なものにできると考えられる．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
土橋氏によって新しく構成された 4 次元カスプ特異点は，非特異化における例外因子が 4 つの 3 次元トーリック多様体からなり，これらが単純正規交叉するというめずらしいものである．このカスプ特異点はある無限コクセター群の指数 48 の部分群により構成されるが，この部分群を詳しく記述することにより，4 つのトーリック多様体が 48 個ある通常 4 重点でどのように交わっているかを具体的に記述することができた．
離散群の作用による商空間を記述する場合，群を小さくすればわかりやすい空間にはなるが，体積などは増えて記述のデータ量は増える．形式扇の場合も，群をぎりぎりまで大きくしてデータ量を減らすため，形式扇の定義に工夫が必要となる．トーリック型カスプ特異点を形式扇による記述とプログラム化を考えているが，モデルとなるカスプ特異点のよい実例についての計算の手法が見つかったので，よりよい形式扇の定義のために役立つと考えられる．
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| Strategy for Future Research Activity |
このカスプ特異点について，準多面凸集合と鏡映群，さらに三角形分解された位相多様体にデータを加えたものとして研究を進める．土橋氏との週 1 回のセミナーを本研究の最終年度も継続して，より深い研究を行う．3 次元や 4 次元の場合に様々な実例が得られているので，個々の例につて詳しい解析も行う．また計算機を使った実例のデータ化も進めて，不変量の計算の自動化がどれくらい可能かも調べる．さらに，今年 9 月には代表者による代数学シンポジウムでの講演も予定されているので，そこでの研究成果の発表に向けて形式扇の理論の完成度を高めていきたい．
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