2017 Fiscal Year Annual Research Report
Combinatorics of special polynomials associated to certain solutions of Painleve equations
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15K13425
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| Research Institution | Nagoya University |
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Principal Investigator |
岡田 聡一 名古屋大学, 多元数理科学研究科, 教授 (20224016)
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| Project Period (FY) |
2015-04-01 – 2018-03-31
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| Keywords | Painleve 方程式 / 組合せ論 / 対称関数 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
Painleve 方程式は新しい特殊関数の探求を動機として 19 世紀末に発見された 2 階常微分方程式であるが，現在では q-Painleve 方程式，楕円 Painleve 方程式などの一般化も導入されている．この研究では，これらの Painleve 型方程式の解のタウ関数として現れる特殊多項式（梅村多項式など）の組合せ論的構造を解析し，その組合せ論的構造の由来を明らかにすることを目標としている．
2017 年度は，前年度の研究に引き続いて，次のような研究成果を得た．前年度の研究において予想した C 型ルート系に付随した Q 関数（Hall-Littlewood 関数において t=-1 としたもの）の積に関する構造定数の正値性の証明を目指して研究を進め，Pieri 型公式を証明するとともに，同様の手法を用いることによって，factorial Q 関数の factorial パラメータが異なる場合の Pieri 型公式を与えた．また，KP 階層に関連して前年度の研究では skew Schur 関数に対する Giambelli 型公式を扱ったが，Schur 多項式（と有理 Schur 多項式）について，新たな行列式による表示式を見出すことによって行列式に対する Sylvester の公式を用いると Giambelli の公式が直ちに導かれることを示し，行列式に対する新しい Cauchy--Binet 型の公式を与え，歪 Schur 関数に対する Lascoux--Pragacz の公式に簡明な別証明を与えた．さらに，UC 階層に関連して，分割の対に対して定まる有理型 Q 関数について，Hall--Littlewood 多項式の特殊化として定義されるものと，Cauchy 型公式から定義されるものとの間の関係を明らかにした．
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