Torelli-type problem for singular algebraic curves

2018 Fiscal Year Annual Research Report

• Project/Area Number: 15K13426
• Research Institution: Osaka University
• Principal Investigator: 今野 一宏 大阪大学, 理学研究科, 教授 (10186869)
• Project Period (FY): 2015-04-01 – 2019-03-31
• Keywords: 特異可約曲線 / 周期写像 / トレリの定理

Outline of Annual Research Achievements

閉リーマン面の同型類がそのヤコビ多様体とテータ因子の組で決定されるというトレリの定理は種数2以上の閉リーマン面の理論において，ひとつの到達点とも言うべき重要な結果である．
本研究の目的は，非特異代数曲面上の１次元部分スキーム（有効因子）に対してトレリ型の問題を考察することにある．算術種数が２以上で数値的2連結な有効因子を主な研究対象とし，そのような曲線がネフ線形系の特異メンバーとして現れるときに最も興味がある．この場合に，半安定還元を通して，コンパクト化されたモジュライ空間からホッジ構造の分類空間への写像（周期写像）の単射性を問うのが，典型的なトレリ型問題である．一般に，モジュライ空間の境界点に対応する曲線は複数考えられ，特異曲線の位相型を固定してもそれに入る複素構造がどれほど沢山あるかはわからない．それが特定できるための良い条件を見つけることが本研究の主題である．
当初想像していたよりも困難な問題だったため，研究期間内に決定的な結果を得ることはできなかったが，解決方法を模索する過程において，1)重複ファイバーに対する標準線形系の基点の振る舞い，2)必ずしも数値的３連結でない曲線に対する標準写像の挙動, 3)代数曲線束の正規極小モデルとなる特異ファイバーに対しては，その既約成分の数，種数，それから重複度からなるデータを固定すれば，パラメータ空間が連結であることを示すことができたことなど，部分的な成果はあった．最終年度には，標準系の固定部分に関連する楕円型特異点の基本サイクルの組み合わせ的データから数値的ゴレンスタイン性を判定する方法を見出した．